本文提供了一种根据三角形中一个角θ及其对边bbb和侧边aaa计算第三条边ccc长度的数学公式，并通过海伦公式和三角形面积公式进行证明。当θ小于π/2且b小于a时，ccc可能有两个解。
已知三角形中的一个角θ\thetaθ和其对边bbb以及侧边aaa,
c2=a2+b2−2a2sin2θ±2a(b2−a2sin2θ)cos2θc^2=a^2+b^2-2a^2sin^2\theta\pm 2a\sqrt{(b^2-a^2sin^2\theta)cos^2\theta}c2=a2+b2−2a2sin2θ±2a(b2−a2sin2θ)cos2θ
证明很简单, 用海伦公式和三角形两边一内角的面积公式, 消去公共面积变量即可.
{S=12ac⋅sinθS=p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=(a+b+c)/2
\begin{cases}
S=\frac{1}{2}ac\cdot sin \theta \\
\\
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ~~~~~~~~~~~~~~~ 其中p=(a+b+c)/2
\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧S=21ac⋅sinθS=p(p−a)(p−b)(p−c) 其中p=(a+b+c)/2
要说明的是, 当θ<π/2\theta<\pi/2θ<π/2且b<ab<ab<a时, ccc有两个解, 其他条件下只有一个解, ±\pm±只需要取−-−即可.
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