HDU 6446 Tree and Permutation （思路+dp）

最新推荐文章于 2020-08-20 18:47:22 发布

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分类专栏：动态规划

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博客围绕树的全排列权值和计算展开。给定n个点、n - 1条边的树及全排列表示的路线，分析得出全排列中所有边出现次数相同，权值等于树上任意点到所有点的和乘边出现次数，给出边出现次数的计算方法，还可通过dfs求距离和，最后答案要乘2。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意
给你n个点，n-1条边的一棵树，现在有一个从 ${(1...n)}$ 的全排列，表示的是你在这棵树上要走的路线，现在问你走完这些全排列的所有权值和是多少
思路
先看 $(1,2,3)$ 你会发现有 $(1,2,3)$ , $(1,3,2)$ , $(2,1,3)$ , $(2,3,1)$ , $(3,1,2)$ , $(3,2,1)$ ,你会发现 $(1,3)$ ， $(1,2)$ ， $(3,2)$ ， $(3,1)....$ 他们出现的次数都是相同的都是由此我们可以看出，对于一个全排列来说，所有边出现的次数都是相同的，那么我们就可以知道全排列的权值其实就等于树上任意点到所有点的和乘上这两个点组成的边的次数就好了。对于有 $n$ 个点的全排列来说，任意两点出现了多少次其实是：首先你将两个点绑在一起剩下 $n-1$ 个点，之后这个新的点有 $(n-1)$ 种放置的方法，之后剩余 $(n-2)$ 个点随意放置是个 $(n-2)!$ 种方法所以共有 $(n-1) * (n-2)! = (n-1)!$ 种方法，那么对于树上任意点到所有点的距离和，我们可以dfs一下就能得到了.记得最后的答案要成2
代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
int n;
long long dp[maxn] , sum[maxn] , jc[maxn];
vector<tuple<int,int> >V[maxn]; 
void dfs(int u,int fa)
{
    int v,w;
    sum[u] = 1;
    for(auto &i : V[u])
    {
        tie(v,w) = i;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        sum[u] += sum[v];
        dp[u] = ((dp[u] + dp[v]) % mod + (sum[v] * (n-sum[v]) % mod) * w) % mod;
    }
}
void init()
{
    jc[0] = 1, jc[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= maxn ; i++)
    {
        jc[i] = jc[i-1] * i % mod; 
    }
}
int main()
{
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i = 0 ; i <= n ; i++) V[i].clear();
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        int x,y,z;
        for(int i = 0 ; i < n-1 ; i++) 
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            x--,y--;
            V[x].emplace_back(y,z);
            V[y].emplace_back(x,z);
        }
        dfs(0,-1);
        long long ans = dp[0] * jc[n-1] % mod * 2 % mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}