欧拉函数_互质数

什么是欧拉函数? 见 百度百科

就是这样的一个函数, 在ACM里面算是一个常见内容了(虽然目前我只见过一次).

那么我们定义Φ(n)为n的欧拉函数

那么显然的, 如果n是质数, Φ(n) = n - 1, 如果n不是质数, 那么我们只要求出n的所有因数, 即可求出Φ(n).

这么看来求欧拉函数就是分解质因数 + 计算了.

有没有更方便, 更快速的方法呢?

有的! 我们可以把求欧拉函数和素数筛法结合起来. 这就是所谓欧拉筛法.

for (long long i = 1; i <= n; ++i) {
        Euler[i] = i;
    }
    for (long long i = 2; i <= n; ++i) { // 普通筛法i * i <= n没错的, 但是这是欧拉筛,所有约数都要出现 
        if (prim[i] == 0) {
            for (long long j = i + i; j <= n; j += i) {
                prim[j] = 1;
                Euler[j] = Euler[j] * (i - 1) / i;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (prim[i] == 0) Euler[i]--;
    }

一道欧拉筛法的模板题 仪仗队

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 40000 + 5;
bool prim[maxn] = {};
long long n, Euler[maxn], ans = 0;

int main()
{
    cin >> n;
    if (n == 1) {
        cout << 0;
        return 0;
    }
    for (long long i = 1; i <= n; ++i) {
        Euler[i] = i;
    }
    for (long long i = 2; i <= n; ++i) { // 普通筛法i * i <= n没错的, 但是这是欧拉筛,所有约数都要出现 
        if (prim[i] == 0) {
            for (long long j = i + i; j <= n; j += i) {
                prim[j] = 1;
                Euler[j] = Euler[j] * (i - 1) / i;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (prim[i] == 0) Euler[i]--;
    }
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        ans += Euler[i];
    }
    cout << 2 * ans + 3;
}