DCT变换

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#人工智能

一、引言

　　DCT变换是数字图像处理中重要的变换，很多重要的图像算法、图像应用都是基于DCT变换的，如JPEG图像编码方式。对于大尺寸的二维数值矩阵，倘若采用普通的DCT变换来进行，其所花费的时间将是让人难以忍受甚至无法达到实用。而要克服这一难点，DCT变换的快速算法无非是非常吸引人的。

　　就目前而言，DCT变换的快速算法无非有以下两种方式：

　　1．由于FFT算法的普便采用，直接利用FFT来实现DCT变换的快速算法相比来说就相对容易。但是此种方法也有不足：计算过程会涉及到复数的运算。由于DCT变换前后的数据都是实数，计算过程中引入复数，而一对复数的加法相当于两对实数的加法，一对复数的乘法相当于四对实数的乘法和两对实数的加法，显然是增加了运算量，也给硬件存储提出了更高的要求。

　　2．直接在实数域进行DCT快速变换。显然，这种方法相比于前一种而言，计算量和硬件要求都要优于前者。

　　鉴于此，本文采用第二种方法来实现DCT变换的快速算法。

　　二、理论推导

　　限于篇幅，在此不能罗列，具体推导过程可参见《DCT快速新算法及滤波器结构研究与子波变换域图像降噪研究》华南理工大学博士论文。

　　三、程序实现

　　DCT快速变换

　　考虑到DCT变换中的系数要重复计算，可使用查找表来提高运行的效率，只要开始DCT变换之前计算一次，DCT变换中就可以只查找而无需计算系数。

　　void initDCTParam(int deg)

{

　　　// deg 为DCT变换数据长度的幂

　　　if(bHasInit)

　　　{

　　　　　　 return; //不用再计算查找表

　　　}

　　　int total, halftotal, i, group, endstart, factor;

　　　total = 1 << deg;

　　　if(C != NULL) delete []C;

　　　C = (double *)new double[total];

　　　halftotal = total >> 1;

　　　for(i=0; i < halftotal; i++)

　　　　　　 C[total-i-1]=(double)(2*i+1);

　　　for(group=0; group < deg-1; group++)

　　　{

　　　　　　 endstart=1 << (deg-1-group);

　　　　　　 int len = endstart >> 1;

　　　　　　 factor=1 << (group+1);

　　　　　　 for(int j = 0;j < len; j++)

　　　　　　　　　　C[endstart-j-1] = factor*C[total-j-1];

　　　}

　　　for(i=1; i < total; i++)

　　　　　　 C[i] = 2.0*cos(C[i]*PI/(total << 1)); ///C[0]空着，没使用

　　　bHasInit=true;

}

　　DCT变换过程可分为两部分：前向追底和后向回根

void dct_forward(double *f,int deg)

{

　　　// f中存储DCT数据

　　　int i_deg, i_halfwing, total, wing, wings, winglen, halfwing;

　　　double temp1,temp2;

　　　total = 1 << deg;

　　　for(i_deg = 0; i_deg < deg; i_deg++)

　　　{

　　　　　　 wings = 1 << i_deg;

　　　　　　 winglen = total >> i_deg;

　　　　　　 halfwing = winglen >> 1;

　　　　　　 for(wing = 0; wing < wings; wing++)

　　　　　　 {

　　　　　　　　　　for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing++)

　　　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　　　　 temp1 = f[wing*winglen+i_halfwing];

　　　　　　　　　　　　　 temp2 = f[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing];

　　　　　　　　　　　　　 if(wing%2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　swap(temp1,temp2); // 交换temp1与temp2的值

　　　　　　　　　　　　　 f[wing*winglen+i_halfwing] = temp1+temp2;

　　　　　　　　　　　　　 f[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing] =

　　　　　　　　　　　　　　　　(temp1-temp2)*C[winglen-1-i_halfwing];

　　　　　　　　　　}

　　　　　　 }

　　　}

}

　　后向回根：

void dct_backward(double *f,int deg)

{

　　　// f中存储DCT数据

　　　int total,i_deg,wing,wings,halfwing,winglen,i_halfwing,temp1,temp2;

　　　total = 1 << deg;

　　　for(i_deg = deg-1; i_deg >= 0; i_deg--)

　　　{

　　　　　　 wings = 1 << i_deg;

　　　　　　 winglen = 1 << (deg-i_deg);

　　　　　　 halfwing = winglen >> 1;

　　　　　　 for(wing = 0; wing < wings; wing++)

　　　　　　 {

　　　　　　　　　　for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing++)

　　　　　　　　　　{　

　　　　　　　　　　　　　 //f[i_halfwing+wing*winglen] = f[i_halfwing+wing*winglen];

　　　　　　　　　　　　　 if(i_halfwing == 0)

　　　　　　　　　　　　　 {

　　　　　　　　　　　　　　　　　　f[halfwing+wing*winglen+i_halfwing] =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0.5*f[halfwing+wing*winglen+i_halfwing];

　　　　　　　　　　　　　　}

　　　　　　　　　　　　　 else

　　　　　　　　　　　　　 {

　　　　　　　　　　　　　　　　　temp1=bitrev(i_halfwing,deg-i_deg-1);　 // bitrev为位反序

　　　　　　　　　　　　　　　　　temp2=bitrev(i_halfwing-1,deg-i_deg-1); // 第一参数为要变换的数

　　　　　　　　　　　　　　　　 // 第二参数为二进制长度

　　　　　　　　　　　　　　　　　f[halfwing+wing*winglen+temp1] =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 f[halfwing+wing*winglen+temp1]-f[halfwing+wing*winglen+temp2];

　　　　　　　　　　　　　 }　　

　　　　　　　　　　}

　　　　　　 }

　　　}

}

　　位反序函数如下：

int bitrev(int bi,int deg)

{　　

　　　int j = 1, temp = 0, degnum, halfnum;

　　　degnum = deg;

　　　//if(deg<0) return 0;

　　　if(deg == 0) return bi;

　　　halfnum = 1 << (deg-1);

　　　while(halfnum)

　　　{　　　　　　

　　　　　　 if(halfnum&bi)

　　　　　　　　　　temp += j;

　　　　　　 j<<=1;

　　　　　　 halfnum >>= 1;

　　　}

　　　return temp;

}

　　完整实现一维DCT变换：

void fdct_1D_no_param(double *f,int deg)

{

　　　initDCTParam(deg);

　　　dct_forward(f,deg);

　　　dct_backward(f,deg);

　　　fbitrev(f,deg);　　 // 实现位反序排列

　　　f[0] = 1/(sqrt(2.0))*f[0];

}

void fdct_1D(double *f,int deg)

{

　　　fdct_1D_no_param(f,deg);

　　　int total = 1 << deg;

　　　double param = sqrt(2.0/total);

　　　for(int i = 0; i < total; i++)

　　　　　　 f[i] = param*f[i];

}

　　利用一维DCT变换来实现二维DCT变换：

void fdct_2D(double *f,int deg_row,int deg_col)

{　　

　　　int rows,cols,i_row,i_col;

　　　double two_div_sqrtcolrow;

　　　rows=1 << deg_row;

　　　cols=1 << deg_col;

　　　init2D_Param(rows,cols);

　　　two_div_sqrtcolrow = 2.0/(sqrt(double(rows*cols)));　

　　　for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)

　　　{

　　　　　　 fdct_1D_no_param(f+i_row*cols,deg_col);

　　　}

　　　for(i_col = 0; i_col < cols; i_col++)

　　　{

　　　　　　 for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)

　　　　　　 {

　　　　　　　　　　temp_2D[i_row] = f[i_row*cols+i_col];

　　　　　　 }

　　　　　　 fdct_1D_no_param(temp_2D, deg_row);

　　　　　　 for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)

　　　　　　 {

　　　　　　　　　　f[i_row*cols+i_col] = temp_2D[i_row]*two_div_sqrtcolrow;

　　　　　　 }　　　　　

　　　}

　　　bHasInit = false;

}

　　IDCT快速变换

 

IDCT快速变换 

初始化查找表：

void initIDCTParam(int deg)

 

{

 

      if(bHasInit)

 

             return;    //不用再计算查找表

 

      int total, halftotal, i, group, endstart, factor;

 

      total = 1 << deg;

 

      // if(C!=NULL) delete []C;

 

      // C=(double *)new double[total];

 

      // 由于正变换已经为C申请了空间，所以逆变换就需再申请空间了！

 

      halftotal = total >> 1;

 

      for(i = 0; i < halftotal; i  )

 

             C[total-i-1] = (double)(2*i 1);

 

      for(group = 0; group < deg-1; group  )

 

      {

 

             endstart = 1 << (deg-1-group);

 

             int len = endstart>>1;

 

             factor = 1 << (group 1);

 

             for(int j = 0; j < len; j  )

 

                    C[endstart-j-1] = factor*C[total-j-1];

 

      }

 

      for(i = 1; i < total; i  )

 

             C[i] = 1.0/(2.0*cos(C[i]*PI/(total << 1)));       // C[0]空着没用

 

      bHasInit=true;

 

}

 

IDCT变换过程也可分为两部分：前向追底和后向回根 

逆风者

前向追底

void idct_forward(double *F,int deg)

 

{

 

      int total,i_deg,wing,wings,halfwing,winglen,i_halfwing,temp1,temp2;

 

      total = 1 << deg;

 

      for(i_deg = 0; i_deg < deg; i_deg  )

 

      {

 

             wings = 1 << i_deg;

 

             winglen = 1 << (deg-i_deg);

 

             halfwing = winglen >> 1;

 

             for(wing = 0; wing < wings; wing  )

 

             {

 

                    for(i_halfwing = halfwing-1; i_halfwing >= 0; i_halfwing--)

 

                    {

 

                           if(i_halfwing == 0)

 

                           {

 

                                  F[halfwing wing*winglen i_halfwing] =

 

                                    2.0*F[halfwing wing*winglen i_halfwing];

 

                            }

 

                           else

 

                           {

 

                                  temp1 = bitrev(i_halfwing,deg-i_deg-1);

 

                                  temp2 = bitrev(i_halfwing-1,deg-i_deg-1);

 

                                  F[halfwing wing*winglen temp1] = F[halfwing wing*winglen temp1]

 

                                           F[halfwing wing*winglen temp2];

 

                           }

 

                    }

 

             }

 

      }

 

}

 

后向回根

void idct_backward(double *F, int deg)

 

{

 

      int i_deg,i_halfwing,total,wing,wings,winglen,halfwing;

 

      double temp1, temp2;

 

      total = 1 << deg;

 

      for(i_deg = deg-1; i_deg >= 0; i_deg--)

 

      {

 

             wings = 1 << i_deg;

 

             winglen = total >> i_deg;

 

             halfwing = winglen >> 1;

 

             for(wing = 0; wing < wings; wing  )

 

             {

 

                    for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing  )

 

                    {

 

                           temp1 = F[wing*winglen i_halfwing];

 

                           temp2 = F[(wing 1)*winglen-1-i_halfwing]*C[winglen-1-i_halfwing];

 

                           if(wing % 2)

 

                           {

 

                                  F[wing*winglen i_halfwing] = (temp1-temp2)*0.5;

 

                                  F[(wing 1)*winglen-1-i_halfwing] = (temp1 temp2)*0.5;

 

                           }

 

                           else

 

                           {

 

                                  F[wing*winglen i_halfwing] = (temp1 temp2)*0.5;

 

                                  F[(wing 1)*winglen-1-i_halfwing] = (temp1-temp2)*0.5;

 

                           }

 

                    }

 

             }

 

      }

 

}

 

 

 

完整实现一维IDCT变换：

void fidct_1D_no_param(double *F, int deg)

 

{

 

      initIDCTParam(deg);

 

      F[0] = F[0]*sqrt(2.0);

 

      fbitrev(F, deg);

 

      idct_forward(F, deg);

 

      idct_backward(F, deg);

 

}

 

void fdct_1D(double *f, int deg)

 

{

 

      fdct_1D_no_param(f, deg);

 

      int total = 1 << deg;

 

      double param = sqrt(2.0/total);

 

      for(int i = 0; i < total; i  )

 

             f[i] = param*f[i];

 

}

利用一维IDCT变换来实现二维IDCT变换：

void fidct_2D(double *F, int deg_row, int deg_col)

 

{

 

      int rows,cols,i_row,i_col;

 

      double     sqrtcolrow_div_two;

 

      rows = 1 << deg_row;

 

      cols = 1 << deg_col;

 

      init2D_Param(rows,cols);

 

      sqrtcolrow_div_two = (sqrt(double(rows*cols)))/2.0;

 

      for(i_row = 0; i_row < rows; i_row  )

 

      {

 

             fidct_1D_no_param(F i_row*cols,deg_col);

 

      }

 

      for(i_col = 0; i_col < cols; i_col  )

 

      {

 

             for(i_row = 0; i_row < rows; i_row  )

 

             {

 

                    temp_2D[i_row] = F[i_row*cols i_col];

 

             }

 

             fidct_1D_no_param(temp_2D, deg_row);

 

             for(i_row = 0; i_row < rows; i_row  )

 

             {

 

                    F[i_row*cols i_col] = temp_2D[i_row]*sqrtcolrow_div_two;

 

             }

 

      }

 

      bHasInit=false;

 

}

多线程的考量由于DCT变换要花费一定的时间，特别是在数据矩阵尺寸比较大的时候。此时，如果没有增加一个线程来执行DCT变换，操作界面可能因程序忙于DCT变换的计算而失去响应，所以，增加一个用来进行DCT变换的线程是十分必要的。

 

首先定义一个结构

typedef struct

 

{   

 

      int row;

 

      int col;

 

      double *data;

 

      //double *data2;

 

      //double *data3; // 在计算彩色图象的数据矩阵时，彩色图象用RGB三个分量

 

      bool m_bfinished;

 

      DWORD m_start,m_end; //以毫秒计，用来计算DCT变换所用的时间;

 

}RUNINFO;

DCT变换进程函数：

UINT ThreadProcfastDct(LPVOID pParam)

 

{

 

      RUNINFO *pinfo = (RUNINFO*)pParam;

 

      pinfo->m_start = ::GetTickCount();

 

      fdct_2D((double *)pinfo->data, GetTwoIndex(pinfo->row), GetTwoIndex(pinfo->col));

 

      pinfo->m_end = ::GetTickCount();

 

      pinfo->m_bfinished = true;

 

      return 1;

 

}

IDCT变换进程函数：

UINT ThreadProcfastIDct(LPVOID pParam)

 

{

 

      RUNINFO *pinfo = (RUNINFO*)pParam;    

 

      pinfo->m_start = ::GetTickCount();

 

      fidct_2D((double *)pinfo->data, GetTwoIndex(pinfo->row), GetTwoIndex(pinfo->col));

 

      pinfo->m_end = ::GetTickCount();

 

      pinfo->m_bfinished = true;

 

      return 1;

 

}

 

四、程序运行

 

图1　普通DCT变换

DCT变换

 

图2　快速DCT变换

DCT变换

图3　快速IDCT变换

DCT变换

 

从以上可以看出，采用上述快速DCT变换对一幅256灰度的256＊256的图像进行DCT正变换只需94ms,IDCT逆变换也只需94ms，而如果采用普通DCT变换，所需时间要575172ms。由此可见，DCT快速变换的巨大的优势，计算速度快，效率高。

DCT变换、DCT反变换、分块DCT变换
星月夜话
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04-23
### DCT变换的实现原理 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）是一种用于信号处理和数据压缩的重要工具。它通过将空间域中的数据映射到频率域，从而能够有效地表示图像或其他信号的主要特征[^1]。 #### 间接算法 一种常见的DCT实现方式是间接算法，该方法依赖于与其他正交变换的关系，例如离散傅里叶变换（DFT）。具体来说，这种方法会先将输入数据转化为适合DFT的形式，再利用快速傅里叶变换（FFT）完成计算。然而，这种间接方法通常需要额外的操作步骤来调整结果以适应DCT的要求。尽管其实现相对简单，但由于效率低下以及适用范围有限，在现代应用中较少使用[^1]。 #### 直接算法 更高效的DCT实现通常是基于直接算法。这类算法主要包括矩阵分解技术和递归算法两种形式： - **矩阵分解**：此技术的核心思想是对原始的DCT变换矩阵进行稀疏化分解，将其拆解成若干简单的子操作序列。这些子操作可以进一步优化硬件或软件上的执行速度。 - **递归算法**：相比矩阵分解，递归算法则采取了一种自底向上的构建策略——即从小规模的DCT出发逐步扩展至更大尺寸的情况。这种方式不仅保持了较高的数值精度，还具备更好的可移植性和灵活性[^1]。 ### Verilog编程实现DCT 对于嵌入式系统或者专用集成电路设计而言，Verilog HDL提供了一个强大的平台去描述并最终合成针对特定应用场景定制化的电路逻辑。下面给出一段简化版的一维8点DCT核Verilog代码片段作为例子说明如何用硬件描述语言表达这一数学运算过程: ```verilog module dct_1d ( input wire clk, input wire reset_n, input wire signed [7:0] data_in [0:7], output reg signed [15:0] result_out [0:7] ); always @(posedge clk or negedge reset_n) begin if (!reset_n) begin // Reset logic here... end else begin // Perform butterfly operations and other necessary computations. // This is a placeholder for actual implementation details which would involve multiple stages of computation. // Example pseudo-computation (not functional code): result_out[0] <= ((data_in[0] + data_in[7]) * 8'd29); // Repeat similar lines for all outputs based on specific algorithm chosen. end end endmodule ``` 请注意以上仅为示意性质的内容展示，并未包含完整的功能定义及错误检测机制等内容；实际项目开发过程中应当依据需求详尽考虑各方面因素后再予以完善。 ### Matlab中的DCT变换实现 如果目标是在高级脚本环境中测试DCT效果，则MATLAB提供了便捷的方法来进行此类实验。如下所示的是一个典型流程，其中涉及到了读取图片文件、划分区域并对各部分单独施加二维DCT变化等功能模块： ```matlab % Load image file into variable 'scaled_img' block_size = 8; [h, w] = size(scaled_img); dct_coefficients = zeros(h, w); for y = 1:block_size:h for x = 1:block_size:w block = scaled_img(y:min(end,y+block_size-1), x:min(end,x+block_size-1)); dct_block = dct2(double(block)); % Apply two-dimensional DCT transformation dct_coefficients(y:min(end,y+block_size-1), x:min(end,x+block_size-1)) = dct_block; end end imshow(log(abs(dct_coefficients)), []); colormap(jet(64)); colorbar; title('DCT Coefficients'); ``` 这段程序展示了怎样加载一幅灰度图象，接着按照指定大小切割画面单元格，最后逐一对它们实施DCT转换并将所得系数存回原数组位置等待后续分析处理[^2]。
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