10、放宽可观测性概念：深入探讨混合系统的观测性

放宽可观测性概念：深入探讨混合系统的观测性

1. 引言

混合系统的观测性是控制理论中的一个重要课题，特别是在处理具有复杂动态行为的系统时。传统的观测性定义要求在所有可能的切换时间上都能精确重构系统的连续状态，这对于实际应用来说往往过于严格。为了应对这一挑战，研究者们引入了“几乎总是可观测性”的概念，这是一种更为宽松的观测性定义，它允许在几乎所有而非所有切换时间上进行状态重构。本文将详细介绍这一概念及其在混合系统中的应用。

2. 几乎总是可观测性

2.1 定义与背景

考虑一个具有完全离散状态信息的线性混合系统（LH系统）。在这种系统中，离散状态是已知的，因此我们只需要关注连续状态的重构。传统的观测性定义要求所有可能的切换时间上都能精确重构连续状态。然而，这一要求在实际应用中可能难以满足。为此，研究者们提出了“几乎总是可观测性”的概念，它只要求连续状态在几乎所有切换时间上都能被重构。

2.2 数学描述

为了定义“几乎总是可观测性”，我们首先需要引入一些基本概念。设 ( \mathcal{T} L ) 是时间基集合，其基数等于 ( L )。给定 ( \tau, \tau’ \in \mathcal{T}_L )，设 ( \lambda \in \mathbb{R}^L ) 和 ( \lambda’ \in \mathbb{R}^L ) 是向量，其第 ( k ) 个分量分别为 ( \lambda_k = t_k - t {k-1} ) 和 ( \lambda’ k = t’_k - t’ {k-1} )，其中 ( t_k ) 和 ( t’_k ) 分别是 ( \tau )