LC.1287 | 有序数组中出现次数超过25%的元素 | 数组 | 计数法 / 分位点反证法-优快云博客

输入：一个非递减的有序整数数组 arr。

要求：找出并返回那个出现次数超过数组总长度 25% 的元素。
题目保证 一定存在且唯一。

输出：出现次数超过 25% 的元素值。

思路一：线性扫描计数法

因为数组是 有序的，相同的元素一定是连续出现的。
用一个 count 计数当前连续出现的次数。
当 arr[i] == arr[i - 1] 时累加，否则重置计数。
一旦 count > n / 4，立刻返回该元素。

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int findSpecialInteger(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size();
        int limit = n / 4;
        int count = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (arr[i] == arr[i - 1]) {
                count++;
                if (count > limit) {
                    return arr[i];
                }
            } else {
                count = 1;
            }
        }
        return arr[0];
    }
};

思路二：分位点反证法

我们知道：若某个元素出现次数 k > n/4，则它在数组中一定形成一个连续区间（因为数组有序）。
假设存在这样一个连续区间，它的左右边界分别是 [l, r]，长度 r - l + 1 = k > n/4。

接下来我们假设：

这个连续区间可以完全避开三个关键分位点 n/4、n/2、3n/4。

那么根据分布可得：

区间一：从索引 0 到 n/4 - 1，最多容纳 n/4 个元素。
区间二：从索引 n/4 + 1 到 n/2 - 1，最多容纳 n/4 - 1 个元素。
区间三：从索引 n/2 + 1 到 3n/4 - 1，最多容纳 n/4 - 1 个元素。
区间四：从索引 3n/4 + 1 到 n - 1，最多容纳 n/4 - 1 个元素。

此时，矛盾出现了。
任何能“躲开”所有分位点的连续区间，其长度最多只能是 n/4，而题目要求的元素出现次数 k > n/4，即区间长度超过 n/4。
这意味着：不可能存在这样一个完全避开分位点的连续区间。

结论：

任意出现次数超过 n/4 的元素，其连续区间必定覆盖 n/4、n/2、3n/4 三个分位点中的至少一个。

因此，我们只需检查这三个分位点对应的元素，统计它们在数组中的出现次数是否超过 n/4 即可。

复杂度：

时间复杂度：O(log n + k)（统计过程）
空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int countNumber(vector<int>& arr, int i) {
        int n = arr.size();
        int val = arr[i];
        int left = i, right = i;
        while (left >= 0 && arr[left] == val) {
            left--;
        }
        while (right < n && arr[right] == val) {
            right++;
        }
        return right - left - 1;
    }

    int findSpecialInteger(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size();
        int quarter = n / 4;
        int idx1 = n / 4;
        int idx2 = n / 2;
        int idx3 = 3 * n / 4;

        if (countNumber(arr, idx1) > quarter) {
            return arr[idx1];
        }
        if (countNumber(arr, idx2) > quarter) {
            return arr[idx2];
        }
        return arr[idx3];
    }
};