四元组与3D旋转-优快云博客

四元组与旋转矩阵

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在3D程序中，通常用quaternion来计算3D物体的旋转角度，与Matrix相比，quaternion更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位：

i*i = j*j = k*k= -1

i*j = k, j*i = -k

可以把quaternion看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V，或三个单独的分量（x,y,z）。所以quaternion可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,x）]。对quaternion最大的误解在于认为w表示旋转角度，V表示旋转轴。正确的理解应该是w与旋转角度有关，v与旋转轴有关。例如，要表示以向量N为轴，轴旋α度,相对的quaternion应该是：

q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N]

=[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ]

为了计算方便，一般要求N为单位矢量。对quaternion来说使用四个值就能记录旋转，而不是Matrix所需的十六个值。为什么用quaternion来计算旋转很方便呢?先说过quaternion是一个复数,如果你还记得一点点复数的知识,那么应该知道复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。对最简单的复数p= x + yi来说，和另一个复数q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：

p’ = pq

当然，x+yi的形式只能表示2D变换，对3D变换来说就需要使用 quaternion了，而且计算也要复杂一点。为了对3D空间中的一个点p（x,y,z）进行旋转，需要先把它转换为quaternion形式p = [0, ( x, y, z)]，接下来前面讨论的内容，定义q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N为旋转quaternion，这里N为单位矢量长度的旋转轴，α为旋转角度。那么旋转之后的点p’则为：

       p’ = qpq-1
                                                    09-07-27

Re: 如何从四元组得到绕各个轴的旋转角度？

         void QuaternionToEuler(Quaternion* q, Vector3* vOut)
{
double q0 = q->w;
double q1 = q->x;
double q2 = q->y;
double q3 = q->z;

vOut->x = float(atan2( 2 * (q2*q3 + q0*q1), (q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3)));
vOut->y = float(asin( -2 * (q1*q3 - q0*q2)));
vOut->z = float(atan2( 2 * (q1*q2 + q0*q3), (q0*q0 + q1*q1 - q2*q2 - q3*q3)));
}