2、博弈论与多智能体优化：潜在博弈设计与学习策略

博弈论与多智能体优化：潜在博弈设计与学习策略

1. 博弈论基础概念

在博弈论中，混合策略版本的函数 ( \overline{U} i ) 由勒贝格积分表示，即 ( \overline{U}_i(\sigma) = \int {A} U_i(x)d\sigma(x) )，其中 ( \sigma(x) ) 是玩家混合策略的联合分布。

1.1 纳什均衡

在纯（混合）策略博弈中，假设玩家是自私且独立决策的，博弈的稳定结果是每个玩家对其他所有玩家的策略做出最佳反应。
- 最佳反应定义 ：在纯（混合）策略博弈 ( \Gamma = (N, {A_i}, {U_i}) )（( \overline{\Gamma} = (N, {\sigma_i(A_i)}, {\overline{U} i}) )）中，行动 ( a_i^ \in A_i )（混合策略 ( \sigma_i^ \in \sigma_i(A_i) )）是玩家 ( i \in [N] ) 对其他玩家的联合行动 ( a {-i} )（其他玩家的联合混合策略 ( \sigma_{-i} )）的最佳反应，如果 ( U_i(a_i^ , a_{-i}) = \max_{a_i \in A_i} U_i(a_i, a_{-i}) )（( \overline{U}_i(\sigma_i^ , \sigma_{-i}) = \max_{\sigma_i \in \sigma_i(A_i)} \overline{U} i(\sigma_i, \sigma {-i}) )）。
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