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多目标调度优化：概念、方法与复杂度分析
在当今复杂的计算和资源分配场景中，多目标调度优化问题变得至关重要。它涉及到在多个相互冲突的目标之间找到最佳平衡，以实现整体的最优性能。下面将深入探讨多目标调度优化的相关概念、现有方法以及复杂度问题。
多目标调度优化概述
多目标调度优化问题广泛存在于各种领域，如作业车间调度、网络和通信调度等。不同的调度问题具有不同的特点和复杂度，且在解决这些问题时，通常需要考虑多个目标的同时优化。
在多目标调度中，我们通常倾向于设计高效的算法，避免使用非多项式算法，即使它们能找到精确解。此外，从不同的角度来看，我们可以根据隐藏的目标来寻找解决方案，这些目标可能由单个决策者根据其偏好进行排序，也可能由多个竞争共享资源的参与者持有。前者与决策制定相关，而后者与资源分配的公平性相关。
多目标优化的定义
由于多目标优化问题的多样性，很难给出一个简单的定义。为了便于理解和解决实际问题，我们给出一个简化的定义。
假设存在 $m$ 个处理器，分别表示为 $P_1, \ldots, P_m$，以及 $n$ 个作业，分别表示为 $J_1, \ldots, J_n$，作业 $J_j$ 在处理器 $P_i$ 上的处理时间为 $p_{i,j}$。多目标优化问题的目标是找到所有作业的开始时间 $S_j$ 以及一个将作业映射到处理器的函数 $\pi$（如果 $J_j$ 被调度到 $P_i$，则 $\pi(j) = i$），使得处理器一次只能处理一个作业，并且所有目标函数都被最小化。
具体来说，多目标优化问题可以表示为：
[
\begin{cases}
\forall j, j’ \text{ if } \pi(J_j) = \pi(J_j’) \text{ then } C_j \leq S_{j’} \text{ or } C_{j’} \leq S_j \
\min \left{ f_1(\pi, S_1, \ldots, S_n), \ldots, f_k(\pi, S_1, \ldots, S_n) \right}
\end{cases}
]
为了更好地理解上述定义，我们来看一个具体的例子。假设存在一个由三个处理器和九个任务组成的实例，所有处理器都是相同的，因此任务在任何处理器上的处理时间都是相同的，具体处理时间如下表所示：
| 任务编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 处理时间 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 128 |
该问题的目标是最小化两个目标函数：
- $f_1(\pi, S_1, \ldots, S_n) = \max_i (S_i + p_i) = \max_i C_i$
- $f_2(\pi, S_1, \ldots, S_n) = \sum_i (S_i + p_i) = \sum_i C_i$
帕累托支配和帕累托最优
在多目标优化中，帕累托支配和帕累托最优是两个重要的概念。
- 帕累托支配 ：如果一个解 $\sigma^ $ 在所有目标值上都与另一个解 $\sigma$ 一样好，并且在至少一个目标上更好，那么我们称 $\sigma^ $ 帕累托支配 $\sigma$。
- 帕累托最优 ：如果一个解 $\sigma$ 不被任何其他解帕累托支配，那么我们称 $\sigma$ 是帕累托最优的。
为了更好地理解这两个概念，我们来看一个具体的例子。在上述例子中，使用不同的调度算法可以得到不同的调度方案，如 LPT（最大处理时间优先）、SPT（最小处理时间优先）和 LPT - SPT（先按 LPT 分配任务到处理器，然后在每个处理器上按 SPT 重新排序）。其中，LPT - SPT 调度方案帕累托支配 LPT 调度方案，而 SPT 调度方案和 LPT - SPT 调度方案是帕累托独立的。
所有帕累托最优解的集合称为帕累托集，记为 $P$。从所有帕累托最优解中，我们可以推导出每个目标独立可实现的最优值，从而构造出一个在所有目标上都最优的天顶解。然而，在几乎所有问题中，天顶解都是不可行的，但它通常作为衡量优化算法返回解质量的参考。
现有方法概述
现有关于多目标调度优化的研究可以分为两类：一类是基于算法设计和分析的，旨在设计高效的启发式算法来解决多目标问题；另一类是更具理论性的，主要关注问题本身的特征和复杂度分析。
构建折衷解的算法
- 模拟和实验分析 ：通过模拟或实验来评估现有单目标算法在不同目标上的效率。这种方法的优点是可以通过样本实例了解启发式算法的平均行为，但样本的选择是一个困难的问题。
- 目标函数聚合 ：将多个目标函数进行人工聚合，如优化两个目标的和或最大值。但如果目标值的范围差异太大，需要进行缩放以补偿可能的不平衡。线性聚合函数存在一定的局限性，因为帕累托集不一定是凸的，某些帕累托最优解可能无法通过线性函数找到。
- 字典序排序 ：将每个目标单独处理，从最重要到最不重要对目标函数进行排序，然后根据目标值的字典序对解进行排名。
- 目标转换为约束 ：将一些目标（通常除一个目标外）转换为约束条件，然后使用元启发式或整数线性规划来解决问题。这种方法在某些问题中是自然的，但解决过程并没有真正简化。
- 集成方法 ：旨在同时近似所有目标的集成方法，如为 MaxAndSum 问题提出的近似算法。大多数情况下，通过一个折衷参数可以调整近似比率，使系统设计者能够控制每个目标的退化程度。
复杂度问题
在多目标领域，相关问题主要是优化问题，而不是决策问题。然而，优化问题的决策版本可以为问题的难度提供一些见解。如果单目标问题的决策版本是 NP 完全的，那么多目标决策问题也是 NP 完全的。但多目标优化问题可能很难，即使所有单目标优化问题都可以在多项式时间内解决。
例如，TwoAgentMinSum 问题的单目标对应问题都很容易解决，但该问题的多目标决策版本是 NP 完全的。下面是该问题决策版本的 NP 完全性证明的简要概述：
定理 ：TwoAgentMinSum 问题的决策版本是 NP 完全的。
证明 ：通过从 Partition 问题进行归约来证明。首先，决策问题属于 NP。TwoAgentMinSum 问题的决策版本是确定对于给定的作业集和预算 $Q_A$ 和 $Q_B$，是否存在一个可行的调度方案，使得 $\sum C^A_i \leq Q_A$ 且 $\sum C^B_i \leq Q_B$。
给定一个 Partition 问题的实例，其中元素集为 $P = { s_i }$，我们构造一个 TwoAgentMinSum 问题的实例，使得两个代理具有相同的作业集，且 $p^A_i = p^B_i = s_i$，$Q = Q_A = Q_B = \frac{3}{2}S + 2(\sum_i (n - i)s_i)$，其中 $S = \sum_i s_i$。
通过一系列的推理和分析，我们可以证明一个不超过任何预算的调度方案必然是一个 SPT 调度方案，并且满足一定的条件。同时，我们可以在可行调度方案和 Partition 问题的解之间建立一一对应关系，从而完成归约证明。
在实践中，多目标优化的核心问题是在所有可行解中选择一个折衷方案。因此，一个合理的答案是提供所有的帕累托最优解。我们可以区分三个不同的问题：
1.
帕累托最优解的数量
：这个数量可能是实例规模的指数级。例如，TwoAgentMinSum 问题的一个实例的帕累托最优解数量可能为 $\Omega(2^n)$。
2.
提供所有帕累托最优解
：这类问题称为枚举问题。
3.
用有限数量的解近似帕累托集
：在后续的讨论中，我们将依次探讨这三个问题。
复杂度类 $\equiv P$ 包含可以在有限时间内解决的计数问题，其中验证解的有效性可以在多项式时间内完成。FP 是 $\equiv P$ 的一个子类，其中计数问题可以在多项式时间内解决。对于枚举问题，NPO 类被推广到 ENP 类。如果存在一个算法可以在实例规模和帕累托最优解数量的多项式时间内检查一组解是否为帕累托集，则该问题属于 ENP 类。如果一个 ENP 问题可以在多项式时间内解决，则它属于 EP 类。
然而，这些复杂度类在实践中并不是非常有用，因为帕累托最优解的数量并不是分类问题的一个好标准。例如，TwoAgentMinSum 问题属于 EP 类，但枚举帕累托集可能需要指数级的时间。
多目标优化中的近似性问题尚未得到很好的形式化。通常可以推导出一些不可近似性结果，但这些结果大多不是复杂度结果，而是基于不存在实现给定目标值的解。据我们所知，还没有人研究将经典的 APX 或 PTAS 类扩展到多目标问题。
下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示了多目标调度优化的主要步骤：
graph LR
A[问题定义] --> B[选择算法]
B --> C{算法类型}
C -->|模拟和实验分析| D[评估单目标算法]
C -->|目标函数聚合| E[聚合目标函数]
C -->|字典序排序| F[按字典序排序目标]
C -->|目标转换为约束| G[转换目标为约束]
C -->|集成方法| H[近似所有目标]
D --> I[得到折衷解]
E --> I
F --> I
G --> I
H --> I
I --> J[评估解的质量]
J --> K{是否满意}
K -->|是| L[输出解]
K -->|否| B
综上所述，多目标调度优化是一个复杂且具有挑战性的领域，需要综合考虑多个目标的同时优化。通过深入理解多目标优化的概念、现有方法和复杂度问题，我们可以更好地设计和选择合适的算法来解决实际问题。
多目标调度优化：概念、方法与复杂度分析
近似算法与公平性考虑
在多目标调度优化中，除了上述的基本概念和方法，还有两个重要的方面值得深入探讨，即近似算法和公平性保证。
近似算法
在多目标优化问题中，找到精确的最优解往往是非常困难的，因此近似算法成为了一种常用的解决方法。
- MaxAndSum 问题的近似算法 ：该算法的目标是找到一个单一的解，同时近似最小化最大完工时间和完工时间总和。通过合理的设计和分析，该算法能够在一定的误差范围内满足这两个目标。
- 近似帕累托集的方法 ：另一种方法是近似整个帕累托集，而不是找到一个单一的解。首先，给出了近似帕累托集的正式定义。然后，提出了一种通用的技术，能够生成一个规模为线性的近似帕累托集。以 EfficientReliable 问题为例，展示了如何使用这种方法来解决具体的多目标问题。
以下是近似算法的主要步骤列表：
1. 确定问题的目标函数和约束条件。
2. 选择合适的近似算法类型，如 MaxAndSum 问题的近似算法或近似帕累托集的方法。
3. 根据算法的要求，对输入数据进行预处理。
4. 运行算法，得到近似解。
5. 评估近似解的质量，检查是否满足误差要求。
公平性保证
在多目标调度优化中，公平性也是一个重要的考虑因素。当系统被多个独立的代理使用时，需要确保每个代理都能得到公平的对待。
- TwoAgentMinSum 问题 ：假设系统被多个独立的代理使用，每个代理都有自己的性能指标。在这个问题中，目标是最小化两个代理的完工时间总和。
- 公理公平性的概念 ：为了描述“公平”的解，提出了公理公平性的概念。通过公理来进一步限制帕累托最优解，从而得到更公平的解。
下面是一个表格，总结了近似算法和公平性保证的主要内容：
| 方面 | 具体内容 |
| — | — |
| 近似算法 | - MaxAndSum 问题的近似算法
- 近似帕累托集的方法 |
| 公平性保证 | - TwoAgentMinSum 问题
- 公理公平性的概念 |
总结与展望
多目标调度优化是一个充满挑战和机遇的领域。通过对多目标优化的概念、现有方法、复杂度问题、近似算法和公平性保证的深入研究，我们可以更好地理解和解决实际中的多目标调度问题。
在未来的研究中，还有许多方向值得探索。例如，进一步完善多目标优化中的近似性问题的形式化，将经典的 APX 或 PTAS 类扩展到多目标问题；研究更高效的算法，能够在更短的时间内找到更好的近似解；以及深入探讨公平性的度量和保证方法，确保在多代理系统中实现真正的公平。
以下是一个 mermaid 流程图，展示了多目标调度优化未来研究的主要方向：
graph LR
A[多目标调度优化] --> B[近似性问题形式化]
A --> C[高效算法研究]
A --> D[公平性度量与保证]
B --> E[扩展经典类到多目标问题]
C --> F[缩短求解时间]
C --> G[提高近似解质量]
D --> H[完善公平性度量]
D --> I[加强公平性保证]
总之，多目标调度优化是一个不断发展和进步的领域，我们需要不断地探索和创新，以应对日益复杂的实际问题。通过合理的算法设计和公平性考虑，我们可以在多个目标之间找到更好的平衡，实现更高效、更公平的资源分配和调度。
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