【noip模拟赛】数字对

最新推荐文章于 2024-11-27 20:42:18 发布

willinglive

最新推荐文章于 2024-11-27 20:42:18 发布

阅读量751

点赞数

分类专栏：二分|三分

二分|三分专栏收录该内容

12 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个涉及序列分析的数学问题，目标是找出序列中所有能够被某个特定元素整除的连续子序列，并计算这些子序列的最大长度及数量。通过运用GCD（最大公约数）的概念和ST表（线段树）算法，解决复杂的数据结构问题，提高计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://hzwer.com/5015.html

好题一道，二分的单调性很隐秘，还介绍了ST算法的拓展

【题目描述】

小H是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。

她的面前浮现出一个长度为n的序列{ai}，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。

这个特殊区间满足，存在一个k(L <= k <= R)，并且对于任意的i(L <= i <= R)，ai都能被ak整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为R - L。

小H想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。

【输入格式】

第一行，一个整数n.

第二行，n个整数，代表ai.

【输出格式】

第一行两个整数，num和val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。

第二行num个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的L.

【样例输入1】

4 6 9 3 6

【样例输出1】

1 3

【样例输入2】

2 3 5 7 11

【样例输出2】

5 0

1 2 3 4 5

【数据范围】

30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.

60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.

80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.

100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.

题解

30% ：暴力枚举判断。O(n^4) or O(n^3)。

60% ：特殊区间的特点实际上就是区间最小值等于这个区间的GCD，于是暴力或递推算出每个区间最小值与GCD。而对于最大价值，可以通过二分来进行求解。复杂度O(n ^ 2)。

100%：在60%的基础上，最小值与GCD都使用RMQ算法来求解，对于这道题推荐使用ST表，线段树会被艹飞。复杂度O(nlogn)。

实际上此题数据水机智的暴力踩标程

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#define inf 2147483647
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int bin[20];
int n,top,res;
int a[500005],L[500005],q[500005],ans[500005];
int mn[500005][19],g[500005][19];
int gcd(int x,int y)
{
	return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
void pre()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		mn[i][0]=g[i][0]=a[i];
	for(int j=1;j<=18;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(i+bin[j]-1<=n)
			{
				mn[i][j]=min(mn[i][j-1],mn[i+bin[j-1]][j-1]);
				g[i][j]=gcd(g[i][j-1],g[i+bin[j-1]][j-1]);
			}
			else break;
		}
}
bool query(int l,int r)
{
	int t=L[r-l+1],R=r-bin[t]+1;
	return min(mn[l][t],mn[R][t])==gcd(g[l][t],g[R][t]);
}
void solve(int x)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(i+x-1<=n)
			if(query(i,i+x-1))
				ans[++top]=i;
}
int main()
{
	//freopen("pair.in","r",stdin);
	//freopen("pair.out","w",stdout);
	bin[0]=1;for(int i=1;i<20;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
	L[0]=-1;for(int i=1;i<=500000;i++)L[i]=L[i>>1]+1;
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	pre();
	int l=1,r=500000;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		top=0;
		solve(mid);
		if(top)res=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	top=0;
	solve(res);
	printf("%d %d\n",top,res-1);
	for(int i=1;i<=top;i++)
		printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}