数学-约瑟夫环-JZ46

描述：
n个人围成一个大圈，编号为0~n-1。然后,随机指定一个数m,从编号为0的人开始顺时针报数。每次喊到m-1的人要出列，接下来的人继续从0报数，最后剩下的人编号是多少？

示例1

输入： 5,3
返回值：3

思路：
利用约瑟夫问题的递推公式 f(n,m) =(f(n-1,m) + m) % n
公式递推：
令f(n,m)表示最后一个人的下标。
1.假设有n个人，报数m， 从0 开始报数，易知出圈的人下标为 (m-1)%n。
2.m-1 出圈后，我们对剩余人重新编号 即 原下标为m的人下标变为0，原下标为m+1的人 下标变为1 …以此编号。 那么重新编号之后，那么最后一个人的下标为f(n-1,m)

关键问题： 在重新编号之后的f(n-1,m) 与 重新编号之前的f(n,m)有什么关系？
假设(m-1)%n记为k
第k个人出列，此时
旧编号 k+1, k+2,k+3,…n-1 ， 0， 1， …k-1
新编号 0 ，1 ，2，…n-k-2, .n-k-1, .n-k,…n-2

由此可得 新编号 = (旧编号 - (k+1))%n
所以 旧编号 = (新编号 + (k+1))%n
带入k = (m-1)%n
可知旧编号 = (新编号+m)%n
最终可得出 f(n,m) =(f(n-1,m) + m) % n

递归写法复杂度：
时间复杂度： O(N)
空间复杂度： O(N)
通过迭代写法可以简化空间复杂度为 O(1)

迭代代码，自底向上

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n <= 0) {
            return -1;
        }
        int res = 0;
        for (int i = 2; i<=n; i++) {
            res = (res + m) % i;
        }
        return res;
    }
}