序列二分查找

序列二分查找

二分查找是在有序序列上的快速查找方法，二分查找的时间复杂度为$O(logn)$，现实中很多情形我们需要先排序，然后再查找指定元素，这里就会用到二分查找
二分查找非常简单，实现上分为递归实现和非递归实现，这里其实有些需要注意的点。

原理

我们先看下原理，在一个有序的序列a:{a1,a2,...,aN}a:\{a_1,a_2,...,a_N\}a:{a1​,a2​,...,aN​}里面，假设开始和结束的位置分别是$left=1$和$right=N$，待查找的数据值为$value$，我们首先取到序列中间的位置$mid$和值$a[mid]$，用这个值来与待查值比较，

① 如果相等$value==a[mid]$，说明我们找到了待查值，返回找到的下标$mid$；

② 如果待查值大于中间位置的值$value>a[mid]$，说明待查值只可能在$mid+1$和$right$中即序列{amid+1,...,aright}\{a_{mid+1},...,a_{right}\}{amid+1​,...,aright​}找到，此时更新$left$为$mid+1$，重新在$left和$right$中即$$[left,right]$$中找；

③ 如果待查值小于中间位置的值，说明待查值只可能在$left$和$mid-1$的的序列{aleft,...,amid−1}\{a_{left},...,a_{mid-1}\}{aleft​,...,amid−1​}中取到，此时更新$right$为$mid-1$，重新在$left$和$right$即$[left,right]$中查找；

什么时候结束呢，当找到待查值时当然结束，如果没有找到待查值，最后会在$[index,index+1]$，$mid=index$，然后比较大小，会在$[index,index]$或者$[index+1,index+1]$中找，如果在$[index,index]$没有找到，此时会在$[index+1,index]$，或者$[index,index-1]$去找，那么结束条件就是$left>right$

递归实现

int binarySearch(int *a, int left, int right, int value) {
    if (left > right) {
        return -1;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    if (a[mid] == value) {
        return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
        left = mid + 1;
        binarySearch(a, left, right, value);
    } else {
        right = mid - 1;
        binarySearch(a, left, right, value);
    }
}

非递归实现

二分查找改为非递归实现，需要一个while循环，循环退出条件和递归一样

int binarySearch(int *a, int left, int right, int key){
   int mid;
   while (left <= right){
       mid = (left + right)  / 2;
       if(a[mid] == key){
           return mid;
       }else if(a[mid] < key){
           left = mid + 1;
       }else{
           right = mid - 1;
       }
   }
    return  -1;
}