矩阵快速幂解决Fibonacci数列

最新推荐文章于 2025-05-26 16:53:33 发布

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本文介绍了如何利用矩阵快速幂技巧优化求解Fibonacci数列，通过构造矩阵和位运算实现时间复杂度的降低，详细讲解了矩阵乘法和快速幂函数的实现过程。

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矩阵快速幂解决Fibonacci数列

前言

在我们日常处理Fibonacci数列问题的时候，初学的时候通常使用的是递归和使用变量存储前项的方法，这两种方法的优点在于易于理解和便于代码编写，但是在时间复杂度上却并不占优势，下面介绍的是矩阵快速幂的方法解决Fibonacci数列

1、构造矩阵

struct w_l
{
	long long a[15][15];
	w_l() 
	{ 
		memset(a, 0, sizeof(a));
	}
};

2、矩阵乘法

w_l mul(mat x, mat y)
{
	w_l res;
	for (int i = 0;i < 2;i++)
		for (int j = 0;j < 2;j++)
			for (int k = 0;k < 2;k++)
				res.a[i][j] = (res.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) ;
	return res;
}

下面我们来介绍矩阵快速幂的原理
在这里插入图片描述
矩阵A*矩阵B=矩阵C

由图中所表示的可以理解为 f（x+1）=f（x）+f（x-1）
即斐波那契数列的通式若要求项数较大的数n斐波那契
数，那么只用将矩阵A进行n-1次幂运算

3、矩阵快速幂

在矩阵快速幂函数中，有一项用到了位运算，而这也是矩阵快速幂这种方法时间复杂度低的主要原因，（1 & p）其中&是按位运算符，可以通过比较两个数二进制各个位置是否相同，相同就执行矩阵乘法操作，大大节约了时间。p>>=1是向前移一位，是进行下一位二进制比较的语句。

long long qpow(int p)
{
	w_l bas;
	w_l res;
	for (int i = 0;i < 2;i++)
		res.a[i][i] = 1;
	bas.a[0][0] = bas.a[0][1] = bas.a[1][0] = 1;
	bas.a[1][1] = 0;
	while (p)
	{
		if (1 & p) 
		  res = mul(res, bas);
		bas = mul(bas, bas);
		p >>= 1;
	}
	return res.a[0][1];
}