### 旋转矩阵转换为四元数的公式推导
#### 数学背景
旋转矩阵 \( R \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的正交矩阵,满足 \( R^T R = I \),其中 \( R^T \) 表示矩阵的转置,\( I \) 是单位矩阵。而四元数 \( q = w + xi + yj + zk \) 可以用来表示相同的三维旋转。
为了从旋转矩阵 \( R \) 推导出对应的四元数 \( q \),可以利用两者之间的关系进行计算[^1]。以下是具体的数学推导过程:
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#### 公式推导
假设给定的旋转矩阵为:
\[
R =
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33}
\end{bmatrix},
\]
则可以通过以下公式将旋转矩阵转化为四元数 \( q = [w, x, y, z]^T \)[^2]:
1. **定义变量**
定义四个中间量 \( t_0, t_x, t_y, t_z \) 如下:
\[
t_0 = R(1,1) + R(2,2) + R(3,3),
\]
\[
t_x = R(3,2) - R(2,3), \quad
t_y = R(1,3) - R(3,1), \quad
t_z = R(2,1) - R(1,2).
\]
2. **判断最大分量并提取四元数值**
计算 \( t_0, t_x, t_y, t_z \) 后,选取最大的值作为主导项来提高精度。具体如下:
如果 \( t_0 > t_x \land t_0 > t_y \land t_0 > t_z \):
\[
s = \sqrt{t_0 + 1.0} * 2,
\]
则有:
\[
w = 0.25 * s,
\]
\[
x = (R(3,2) - R(2,3)) / s,
\]
\[
y = (R(1,3) - R(3,1)) / s,
\]
\[
z = (R(2,1) - R(1,2)) / s.
\]
类似地,如果其他条件成立,则分别调整主导项和其余分量的比例[^3]。
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#### C++ 实现代码
下面是基于 Open3D 库实现的一个简单例子,展示如何通过旋转矩阵得到四元数:
```cpp
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
Quaterniond rotationMatrixToQuaternion(const Matrix3d& R) {
double trace = R.trace();
Quaterniond q;
if (trace > 0) { // Case when the real part is dominant
double S = sqrt(trace + 1.0) * 2; // Used to normalize quaternion components
q.w() = 0.25 * S;
q.x() = (R(2,1) - R(1,2)) / S;
q.y() = (R(0,2) - R(2,0)) / S;
q.z() = (R(1,0) - R(0,1)) / S;
} else { // Find largest diagonal element and use it as primary term
int i = 0;
if (R(1,1) > R(0,0)) i = 1;
if (R(2,2) > R(i,i)) i = 2;
double[] next = {1, 2, 0};
int j = next[i];
int k = next[j];
double S = sqrt((R(i,i) - (R(j,j) + R(k,k))) + 1.0) * 2;
switch (i) {
case 0:
q.x() = 0.25 * S;
q.y() = (R(i,j) + R(j,i)) / S;
q.z() = (R(i,k) + R(k,i)) / S;
q.w() = (R(k,j) - R(j,k)) / S;
break;
case 1:
q.y() = 0.25 * S;
q.z() = (R(i,j) + R(j,i)) / S;
q.w() = (R(i,k) + R(k,i)) / S;
q.x() = (R(k,j) - R(j,k)) / S;
break;
case 2:
q.z() = 0.25 * S;
q.w() = (R(i,j) + R(j,i)) / S;
q.x() = (R(i,k) + R(k,i)) / S;
q.y() = (R(k,j) - R(j,k)) / S;
break;
}
}
return q.normalized(); // Ensure normalization of the quaternion
}
int main() {
Matrix3d R;
R << 0, -1, 0,
1, 0, 0,
0, 0, 1;
Quaterniond q = rotationMatrixToQuaternion(R);
std::cout << "Quat(w,x,y,z): (" << q.w() << ", "
<< q.x() << ", " << q.y() << ", " << q.z() << ")" << std::endl;
return 0;
}
```
上述代码实现了从任意有效的旋转矩阵到对应四元数的转化,并进行了标准化处理。
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#### 验证旋转矩阵的性质
对于任何合法的旋转矩阵 \( R \),其应满足以下几个特性:
- 正交性:\( R^T R = I \)
- 行列式等于 1:\( det(R) = 1 \)
这些属性可以在实际应用中进一步验证所生成的旋转矩阵是否有效。
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