详解[USACO07OPEN] Cheapest Palindrome G(洛谷PP2890)(区间DP经典题)

题目

思路

考虑区间DP。

设dp[i][j]为从i到j这段区间被修正为回文串的最小花费

   c[cc][1]为添加字符cc的花费

   c[cc][2]为删去字符cc的花费

   s为题目给出的字符串。

• 用[i + 1,j]区间转移：这种转移相当于在[i+1,j]区间的左边加入一个字符，让[i,j]变为回文的方法为在左边删去该字符或在右边加上该字符，有转移方程:

  dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i + 1][j] + min(c[int(s[i])][1],c[int(s[i])][2]));

• 用[i,j − 1][i,j − 1]区间转移：这种转移相当于在[i,j−1][区间的右边加入一个字符，方法同上：

dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][j - 1] + min(c[int(s[j])][1],c[int(s[j])][2]));

• 当前区间[i,j]满足s[i] == s[j]，直接用[i + 1,j − 1]转移:

if(j - i == 1) dp[i][j] = 0;
else dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i + 1][j - 1]);

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,dp[2101][2101],c[255][3],x,y;
//从i到j这段区间被修正为回文串的最小花费
char s[2101],cc;
int main()
{
  cin>>n>>m;
  cin>>s + 1;
  for(int i = 1;i <= n;i++)
  {
    cin>>cc>>x>>y;
    c[int(cc)][1] = x;
    c[int(cc)][2] = y;
  }
  memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
  for(int i = 1;i <= m;i++) dp[i][i] = 0;
  for(int l = 1;l <= m;l++)
    for(int i = 1;l + i - 1 <= m;i++)
    {
      int j = i + l - 1;
      dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i + 1][j] + min(c[int(s[i])][1],c[int(s[i])][2]));
      dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][j - 1] + min(c[int(s[j])][1],c[int(s[j])][2]));
      if(s[i] == s[j])
      {
		if(j - i == 1) dp[i][j] = 0;
		else dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i + 1][j - 1]);
	  }
    }
  cout<<dp[1][m];
  return 0;
}

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