第五讲 二维费用的背包问题

原创 已于 2024-02-06 11:22:43 修改 · 510 阅读 · 10 ·
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#算法 #数据结构 #c++ #动态规划

于 2024-02-06 11:21:41 首次发布

【题目来源】AcWing 8. 二维费用的背包问题

【题意分析】
本题在前面背包问题的基础上，增加了一个维度——质量，背包拥有了容积、承重两个限制，物品也有了体积、质量两种属性。
【参考资料】第一讲 0/1背包问题
与0/1背包类似，加入一层循环限制重量即可：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N1 = 1050;
const int N2 = 110;
struct node{
   
   
  int v, m, w;
} q[N1];
int n, V, M;
int dp[N1][N2][N2];
//1000 * 100 * 100 = 107，1000ms能过
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专题十：二维费用的背包问题
AAlykk的博客
12-26 1221
作者：დ旧言~> 座右铭：松树千年终是朽，槿花一日自为荣。> 目标：了解什么是记忆化搜索，并且掌握记忆化搜索算法。> 毒鸡汤：有些事情，总是不明白，所以我不会坚持。早安!
【动态规划】二维费用的背包问题
fight_p的博客
10-21 3387
【动态规划】二维费用的背包问题
背包九讲——二维费用背包问题
闻道有先后，术业有专攻
10-27 2154
背包问题是一类经典的组合优化问题，通常涉及在限定容量的背包中选择物品，以最大化某种价值或利益。问题的一般描述是：有一个背包，其容量为C；有一组物品，每个物品有重量w和价值v。目标是选择一些物品放入背包，使得它们的总重量不超过背包容量，同时总价值最大。二维费用背包问题则是背包问题的变体，在背包问题中它只限定物品的重量，二维费用背包会再限定一个维度（体积），在既满足背包容量和既满足背包体积的情况下，使价值最大化。
潜水员 ← 二维费用的背包问题
hnjzsyjyj的专栏
08-08 470
二维费用的背包问题，即具有两种限制条件的背包问题，它是常见背包问题的一个简单的常见扩展。也就是说，常见的背包问题都会存在二维费用的扩展。如二维费用的0-1背包问题、二维费用的完全背包问题等。 二维费用的0-1背包问题的状态转移方程为：c[i][j][k] = max(c[i−1][j][k], c[i−1][j−vol1[i]][k−vol2[i]] + val[i] ) 优化为二维 c[j][k] = max(c[j][k], c[j−vol1[i]][k−vol2[i]] + val[i])......
C++基础：二维费用的背包问题
Keven_11的博客
06-13 1975
一种思路保存原有的状态(dp[i][j])、方程，选取一个费用优先满足条件，并求出此时的价值，再看另一个费用是否满足条件。首先考虑01背包转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i])，这只有一个费用。求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。我们设dp[i][j][k]表示在前i个物品中选取、满足费用1的限制且满足费用2的限制的最大价值。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。
c++背包九讲之二维费用背包问题
weixin_42579072的博客
11-25 1263
一、背包九讲总述 关于动态规划问题，最典型的就是背包九讲，先理解背包九讲后再总结关于动态规划的问题 1、01背包问题 2、完全背包问题 3、多重背包问题 4、混合背包问题 5、二维费用的背包问题 6、分组背包问题 7、背包问题求方案数 8、求背包问题的方案 9、有依赖的背包问题 往前四篇博文已经介绍了前四个问题，有需要的同学可以看一下！！ 二、二维费用背包问题 二维费用的背包问题是指：对于每件...
01背包问题及二维费用背包问题
佛系更新
03-17 2331
AcWing算法提高课内容，本文讲解 动态规划 本篇包括以下题目： AcWing 423. 采药 AcWing 1024. 装箱问题 AcWing 278. 数字组合 AcWing 8. 二维费用的背包问题 AcWing 1020. 潜水员 AcWing 1022. 宠物小精灵之收服 写博客有哪里不完善的地方或者有哪里表达错误希望大家提出来，博主会立即改正！望大家海涵 本文需要先自修基础：背包问题 注：本文中的所有代码全部为优化后的代码，且不提供优化解释，解释请见：背包问题，其中有详细的解释。
背包问题：二维费用背包问题
正月看雪花的博客
02-06 293
问题描述 有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。 每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。 输出最大价值。 输入格式 第一行两个整数，N，V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。 接下来有 N 行，每行三个整数 ...
二维费用的背包问题 AcWing (JAVA)
Narnat的博客
02-16 313
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。接下来有 N行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。第一行三个整数，N,V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。有 N件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。输出一个整数，表示最大价值。
算法CJ2-09-动态规划之-多重混合，分组，二维费用背包问题 .pdf
02-17
本知识点聚焦于动态规划中的多重、混合及分组二维费用背包问题，这类问题通常涉及多个维度的成本考虑以及特定的组合规则。 ##### 基本概念 - **多重背包**：每个物品可以被多次选择。 - **混合背包**：物品可以...
力扣hot100：搜索二维矩阵
一本大学生java学习技术分享与交流
12-14 143
二分查找返回的是目标值最先出现的位置或者是在有序数组中的插入位置，如果是在有序数组中的插入位置则可能为在数组最后一个位置加一个数，这是如果进行matrix[i][weizi]==target的判断的话会导致数组越界，必须先处理越界问题，最终判断条件应为weizi<matrix[i].length&&matrix[i][weizi]==target。本题的本质是一个查找算法，为了提高性能可以使用二分查找，这个二维矩阵可以看出许多个数组，只需要对每个数组都进行一次二分查找就可以实现查找整个二维矩阵。
Louvain 算法
FionaDong的博客
12-12 180
Louvain 是一种经典的图社区发现算法（Community Detection），由 Blondel 等人在 2008 年提出。核心目标：通过最大化 Modularity（模块度）来自动划分图中的社区（cluster）。它最大的特点是：✔ 速度非常快✔ 能处理百万级节点的大图✔ 结果相对稳定。
从0开始学算法——第十五天（滑动窗口）
2401_84407045的博客
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本文旨在通过实践展示滑动窗口技术的应用，特别是在处理数组或字符串时的高效查找和统计操作。主要包括在给定的数组或字符串中找到满足特定条件的连续子数组或子字符串，旨在提高算法的时间效率和理解窗口滑动的原理与实现。
二次规划（QP）算法
weixin_43156294的博客
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二次规划的本质，是在一组线性约束条件下，求解一个二次函数的极值问题。其核心特征在于目标函数的二次性与约束条件的线性性，这种结构既保留了线性规划的求解高效性，又能处理更复杂的优化场景——例如实际系统中普遍存在的“最小能量”“最小方差”等目标，这类目标往往天然呈现二次形式。1.标准数学模型QP问题的标准形式通常分为“凸二次规划”与“非凸二次规划”两类，其中凸QP因具有全局最优解且求解难度可控，应用最为广泛。
【每天学习一点算法 2025/12/10】反转链表
Colorful9的博客
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本文介绍了反转链表的三种实现方法：1）使用栈结构存储节点后弹栈重建；2）迭代法通过遍历直接修改节点指向；3）递归法在回归过程中逐步反转节点。重点解析了递归实现的原理，通过递推找到尾节点后，在回归过程中逐个反转节点指向并断开原链接。三种方法各有特点，栈实现直观但需额外空间，迭代法高效，递归法则展示了递归的独特处理方式。
Conan-embedding整理
kexin197的博客
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本文提出了一种改进的文本嵌入模型Conan-embedding，其核心创新在于动态难负样本挖掘和跨GPU平衡损失。该方法在训练过程中实时挖掘难负样本，使模型能动态适应复杂数据分布；采用多阶段训练策略，包括预训练阶段的通识学习和微调阶段的专项训练；通过跨GPU平衡损失解决训练振荡问题，提升模型稳定性。实验表明，该方法能有效提升文本嵌入质量，尤其在检索任务中表现突出。研究还探讨了不同任务（检索与STS）在训练策略上的差异，为后续研究提供了重要参考。
微算法科技（NASDAQ MLGO）采用混合深度学习赋能区块链：打造智慧城市安全新范式
MicroTech2025的博客
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区块链网络中的各个节点会对算法输出的结果进行验证和记录，每一个安全判断、操作记录等都会以区块的形式被添加到区块链账本上，由于区块链的不可篡改特性，这些记录能够作为可靠的依据，供后续的审计、追溯等使用。系统维护阶段，当发现潜在安全风险时，系统可以根据预设的规则自动触发相应的安全响应机制，比如向相关管理人员发送警报信息、启动防护设备（如对特定区域进行封锁、调整交通信号灯等），同时这些响应操作也会被记录在区块链上，形成完整的安全事件处置链条，方便后续复盘和改进安全策略。
**智能建模算法（GA-ELM）**与**多目标优化算法（NSGA-Ⅱ）** 相结合，用于解决**42CrMo钢表面激光熔覆工艺优化**问题
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二叉堆是一种完全二叉树，它满足堆属性：最大堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值最小堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
二维费用背包
05-13
### 二维费用背包问题的动态规划算法实现 #### 基本概念 二维费用背包问题是传统背包问题的一个扩展版本，在该问题中，每件物品不仅有一个价值，还有两个不同的成本（例如重量和体积）。目标是在不超过两种资源限制的情况下最大化总价值。这种问题通常可以通过动态规划来解决。 #### 状态定义与转移方程 设 `dp[i][j]` 表示在第一种资源剩余容量为 `i`，第二种资源剩余容量为 `j` 的情况下能够获得的最大价值。对于第 `k` 个物品，其对应的两种成本分别为 `cost1[k]` 和 `cost2[k]`，对应的价值为 `value[k]`。状态转移方程可以表示为： ```plaintext dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - cost1[k]][j - cost2[k]] + value[k]) ``` 其中，只有当 `i >= cost1[k]` 且 `j >= cost2[k]` 时才能进行更新[^1]。 #### 初始条件 初始状态下，所有的 `dp[i][j]` 都设置为 0，即没有任何物品被放入背包时，最大价值为 0。 #### 实现代码 以下是基于 C++ 的二维费用背包问题的动态规划实现代码： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; // 定义二维费用背包问题的函数 int twoDimensionalKnapsack(int n, int capacity1, int capacity2, vector<int>& cost1, vector<int>& cost2, vector<int>& value) { // 创建并初始化 DP 数组 vector<vector<int>> dp(capacity1 + 1, vector<int>(capacity2 + 1, 0)); // 动态规划填表过程 for (int k = 0; k < n; ++k) { for (int i = capacity1; i >= cost1[k]; --i) { for (int j = capacity2; j >= cost2[k]; --j) { dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - cost1[k]][j - cost2[k]] + value[k]); } } } return dp[capacity1][capacity2]; } int main() { // 示例数据 int n = 3; int capacity1 = 5, capacity2 = 6; vector<int> cost1 = {2, 3, 4}; vector<int> cost2 = {1, 2, 3}; vector<int> value = {5, 7, 9}; // 调用二维费用背包函数，并输出结果 int result = twoDimensionalKnapsack(n, capacity1, capacity2, cost1, cost2, value); cout << "The maximum value is: " << result << endl; return 0; } ``` 这段代码展示了如何通过嵌套循环遍历所有可能的状态组合，并依据状态转移方程计算最终的结果[^2]。 #### 时间复杂度分析 假设共有 `n` 个物品，第一种资源的容量上限为 `m`，第二种资源的容量上限为 `v`，则时间复杂度为 O(n*m*v)，因为我们需要对每一个物品以及每一种可能的资源组合都执行一次比较操作。 #### 空间优化 如果只需要得到最后的答案而不需要记录具体的选择方案，则可以进一步减少空间占用量至一维数组形式。不过需要注意的是，此时内部两层循环的方向必须调整为从高向低迭代以防止重复使用同一个物品多次的情况发生[^5]。 ---
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