爬楼梯

最新推荐文章于 2016-05-01 16:33:00 发布
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   　有一对兄弟，他们的家住在80层楼上。有一天他们外出旅行回家，发现大楼停电了！虽然他们背着大包的行李，但看来没有什么别的选择，于是哥哥对弟弟说，我们就爬楼梯上去！于是，他们背着两大包行李开始爬楼梯。爬到20楼的时候他们开始累了，哥哥说“包包太重了，不如这样吧，我们把包包放在这里，等来电后坐电梯来拿。”于是，他们把行李放在了20楼，轻松多了，继续向上爬。
他们有说有笑地往上爬，但是好景不长，到了40楼，两人实在累了。想到还只爬了一半，两人开始互相埋怨，指责对方不注意大楼的停电公告，才会落得如此下场。他们边吵边爬，就这样一路爬到了60楼。到了60楼，他们累得连吵架的力气也没有了。弟弟对哥哥说，“我们不要吵了，爬完它吧。”于是他们默默地继续爬楼，终于80楼到了！兴奋地来到家门口兄弟俩才发现他们的钥匙留在了20楼的包包里了……

　　有人说，这个故事其实就是反映了我们的人生：20岁之前，我们活在家人、老师的期望之下，背负着很多的压力、包袱，自己也不够成熟、能力不足，因此步履难免不稳。20岁之后，离开了众人的压力，卸下了包袱，开始全力以赴地追求自己的梦想，就这样愉快地过了20年。可是到了40岁，发现青春已逝，不免产生许多的遗憾和追悔，于是开始遗憾这个、惋惜那个、抱怨这个、嫉恨那个……就这样在抱怨中度过了20年。到了60岁，发现人生已所剩不多，于是告诉自己不要在抱怨了，就珍惜剩下的日子吧！于是默默地走完了自己的余年。到了生命的尽头，才想起自己好象有什么事情没有完成……原来，我们所有的梦想都留在了20岁的青春岁月，还没有来得及完成……

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爬楼梯问题是一个经典的算法问题，涉及多种算法思想和优化技巧。以下是几种使用 C++ 解决爬楼梯问题的方法： ### 暴力搜索 暴力搜索是最直接的方法，通过递归的方式列举出所有可能的爬楼梯方式。但这种方法的时间复杂度较高，会有大量的重复计算。 ```cpp #include <iostream> int climbStairsWithRecursive(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return climbStairsWithRecursive(n - 1) + climbStairsWithRecursive(n - 2); } int main() { std::cout << "请输入楼梯阶数：" << std::endl; int n; std::cin >> n; int m = climbStairsWithRecursive(n); std::cout << m << std::endl; return 0; } ``` ### 记忆化搜索 记忆化搜索是在暴力搜索的基础上，使用一个数组来记录已经计算过的结果，避免重复计算，从而提高效率。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> int climbStairsWithRecursive2(int n, std::vector<int>& memo) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; if (memo[n] != 0) return memo[n]; memo[n] = climbStairsWithRecursive2(n - 1, memo) + climbStairsWithRecursive2(n - 2, memo); return memo[n]; } int main() { std::cout << "请输入楼梯阶数：" << std::endl; int n; std::cin >> n; std::vector<int> memo(n + 1, 0); int b = climbStairsWithRecursive2(n, memo); std::cout << b << std::endl; return 0; } ``` ### 动态规划 动态规划是解决爬楼梯问题的常用方法，通过定义状态和状态转移方程来求解。把爬 `n` 阶楼梯的方法看做爬 `n - 1` 阶楼梯和迈出的一步的方法或者 `n - 2` 阶楼梯和迈出两步的方法之和 [^3]。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> int climbStairsWithRecursive3(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; std::vector<int> dp(n + 1); dp[1] = 1; dp[2] = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; } int main() { std::cout << "请输入楼梯阶数：" << std::endl; int n; std::cin >> n; int c = climbStairsWithRecursive3(n); std::cout << c << std::endl; return 0; } ``` ### 动态规划空间优化 可以对动态规划的空间复杂度进行优化，由于状态转移只依赖于前两个状态，因此可以只使用两个变量来保存中间结果。 ```cpp #include <iostream> int climbStairsOptimized(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int first = 1; int second = 2; int third; for (int i = 3; i <= n; i++) { third = first + second; first = second; second = third; } return second; } int main() { std::cout << "请输入楼梯阶数：" << std::endl; int n; std::cin >> n; int result = climbStairsOptimized(n); std::cout << result << std::endl; return 0; } ``` ### 三步问题（爬楼梯拓展） 如果每次可以爬 1、2 或 3 步楼梯，这就是一个三步问题，与普通爬楼梯问题类似，只是状态转移方程有所不同。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> const int MOD = 1e9 + 7; int waysToStep(int n) { std::vector<int> dp(n + 1); if (n == 1 || n == 2) return n; if (n == 3) return 4; dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4; for (int i = 4; i <= n; ++i) { dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD; } return dp[n]; } int main() { std::cout << "请输入楼梯阶数：" << std::endl; int n; std::cin >> n; int result = waysToStep(n); std::cout << result << std::endl; return 0; } ``` ### 最小花费爬楼梯问题（爬楼梯升级版） 如果爬楼梯需要花费一定的体力，要求计算最小花费，这就是爬楼梯的升级版问题。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> class Solution { public: int minCostClimbingStairs(std::vector<int>& cost) { int length = cost.size(); std::vector<int> sum(length); sum[0] = cost[0]; sum[1] = cost[1]; for (int i = 2; i < length; i++) { sum[i] = std::min(sum[i - 1], sum[i - 2]) + cost[i]; } return std::min(sum[length - 1], sum[length - 2]); } }; int main() { std::vector<int> cost = {1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1}; Solution sol; int result = sol.minCostClimbingStairs(cost); std::cout << "最小花费: " << result << std::endl; return 0; } ```
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