洛谷 P10185 [YDOI R1] Necklace（二项式定理，快速幂）

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P10185

前置知识

• 二项式定理：$(a+b{)}^n={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\times a^i\times b^{n-i}$
• 组合数学
• 快速幂

思路

令$sum={\sum }_{i=1}^n{a}_i$。

我们从$1$到$n$枚举每一种珠子。

我们令$cnt$表示除第$i$种珠子以外所有珠子的选取方案数，则$cnt=2^{sum-a_i}$。

令$S$表示只选取第$i$种珠子时对答案产生的贡献。根据二项式定理，易推得$S=(v_i+1{)}^{a_i}-C_{a_i}^0\times v_i^0$。

第$i$种珠子对答案的总贡献为$=S\times cnt$。

统计所有珠子对答案的贡献之和即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define double long double

typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
typedef pair<int, int> pii;

const int N = 2e5 + 5, M = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

std::mt19937 rnd(time(0));

int n;
int a[N], v[N];
int power(int a, int b, int c)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % c;
		b >>= 1;
		a = a * a % c;
	}
	return res;
}
int MOD(int x)
{
	return (x % mod + mod) % mod;
}
void solve(int test_case)
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> v[i];
	}
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sum = sum + a[i];
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int cnt = power(2, sum - a[i], mod);
		int S = (power(v[i] + 1, a[i], mod) - 1) % mod;
		ans = ans + S * cnt % mod;
		ans %= mod;
	}
	cout << MOD(ans) << endl;
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int test = 1;
	// cin >> test;
	for (int i = 1; i <= test; i++)
	{
		solve(i);
	}
	return 0;
}