傅里叶变换（b站王木头学科学理解版本）

        简介

        之前学习神经网络的时候就看过很多王木头的视频，十分收益。最近正好在速通复变函数，学到傅里叶变换的时候想起王木头将傅里叶以一种很有趣的理解方法表述过，在这里记录一下。

        傅里叶变换个人浅析

        变换嘛，就是将一种形式的东西转换到另一种形式，我们谈起傅里叶变换的时候一般想的也就是时域信号到频域信号的转化。

        我一开始也是这么理解的，工科学生都知道信号一般是都是可以被分解为cos 和 sin 的，因为cos 和 sin是最基本的信号，它们两个正交。就如我们在初高中使用xy轴坐标系可以表示平面内的所有点。

        而时域就是信号随着时间变化的领域，也是我们最好理解的领域。

        频域就不那么好理解了，举一个例子，现在有一个方波，正如我们上面所说，可以将他分解为cos 和 sin的表达，而一个方波信号是由无数个频率不同的cos 和 sin基本信号叠加而成的。那么我们就可以根据频率再开辟一个坐标轴f（或者w），而cos 和 sin前面的系数的绝对值就是另一个坐标轴（振幅），如下图所示，纵轴是振幅，横轴是频率。

        如果将频域图像拆解，那么就可以得到下面的图像。

        对傅里叶变换有了基本的认识后，就可以在进一步看看王木头老师是怎么深层次理解它了。

        正题

        王木头老师的理解其实就是升维再降维。

        首先我们将一个二维下的时域图像升到无穷维。

        升维的好处就是可以拥有无穷个坐标轴，关于在图像中的“无穷”，大家能想到什么呢？一条线上就有无穷多个点!

        这也正是升维的目的：将时域坐标下的一条线，转化为无穷维坐标下的一个点。

        为什么可以这么说呢？我这里也举了个例子：

        好了，继续看。

        降维成一个点之后，我们便可以在无限维坐标系中将那个点使用向量来表示，引入向量的目的其实就是为了坐标系变换。

        如上图所示，我们无限维坐标系中的向量进行坐标轴变换，便得到了右边的等式，可以看得出是一个内积乘以一个单位向量

        这里还要明确一下，在无穷维坐标系中，每一个轴都是对应着时域图像中的一个t，那么我们最终这个点在每一个坐标轴上的投影，其实就是时域图像中对应t所对应的f（t），即t时刻的幅度。

        但更重要的是，我们再次进行降维，不同的是这一次我们不以时间为横坐标，而是以dn，注意，时间是我们变换坐标系之前的变量，但dn才是我们变换了坐标系之后的变量，但其实说到底我们也只是做了一次坐标系变换，但是怎么从时域空间升维的，这次就怎么再降维回去。

        现在我们其实可以看的出来傅里叶变换的雏形了，当我们将t换成w，再将dn(t)换成exp(-iwt)，我们就得到了傅里叶的公式：

        总结

        说到底，傅里叶变换就是将时域空间转化到无限维然后做了一次坐标变换再降维，就变成频域了。

本文章所有图片都是截自王木头爱科学的b站视频

卷积神经网络的底层是傅里叶变换，傅里叶变换的底层是希尔伯特空间坐标变换_哔哩哔哩_bilibili