动态规划双雄详解--爬楼梯问题（入门级DP）01背包问题（里程碑级DP）

我用最通俗的方式给你拆解这两个经典问题，保证让你彻底理解动态规划的精髓。先看大纲：

# 动态规划双雄详解
## 一、爬楼梯问题（入门级DP）
### 1. 问题描述与暴力解法
### 2. 动态规划解法三步走
### 3. 空间优化技巧

## 二、01背包问题（里程碑级DP）
### 1. 问题场景与暴力枚举
### 2. 二维DP表格法
### 3. 滚动数组优化

## 三、两大问题的思维对比

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一、爬楼梯问题（入门级DP）

1. 问题描述与暴力解法

题目：假设你正在爬楼梯，需要n阶才能到达楼顶。每次可以爬1或2个台阶。有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

暴力递归（会超时）：

def climb_stairs(n):
    if n == 1: return 1
    if n == 2: return 2
    return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2)

问题：计算climb_stairs(5)时，函数调用树如下：

climb(5)
├─ climb(4)
│  ├─ climb(3)
│  │  ├─ climb(2)
│  │  └─ climb(1)
│  └─ climb(2)
└─ climb(3)
   ├─ climb(2)
   └─ climb(1)

明显重复计算：climb(3)被计算了2次，climb(2)被计算了3次

2. 动态规划解法三步走

步骤① 定义状态
dp[i]表示爬到第i阶台阶的方法总数

步骤② 状态转移方程
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
（最后一步要么从i-1阶跨1步，要么从i-2阶跨2步）

步骤③ 初始化与计算顺序

def climb_stairs_dp(n):
    if n <= 2: return n
    dp = [0]*(n+1)
    dp[1] = 1  # 到第1阶只有1种方法（爬1步）
    dp[2]