【算法】力扣【树形DP】687. 最长同值路径

【算法】力扣【树形DP】687. 最长同值路径

687. 最长同值路径

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题目描述

本题要求在给定的二叉树中寻找最长的同值路径，这个路径中的每个节点的值都相同。路径可以通过也可以不通过根节点，路径长度由节点间的边数表示。

其实就是在二叉树的直径的基础上，多考虑了每个节点的值而已。

输入输出示例

• 示例 1:

  输入：root = [5,4,5,1,1,5]
  输出：2

  解释： 最长的同值路径为树中的两个值为5的节点之间的路径，路径长度为2。

• 示例 2:

  输入：root = [1,4,5,4,4,5]
  输出：2

  解释： 最长的同值路径为树中值为4的两个相邻节点间的路径，或者值为5的两个相邻节点间的路径，路径长度均为2。

题解思路

为了解决这个问题，我们采用树形动态规划的方法。在处理任何一个节点时，我们需要知道以该节点为终点的最长同值路径，并且我们也需要知道经过该节点的最长同值路径长度。这两个信息可以帮助我们递归地求解整棵树。

代码描述

在代码中，我们定义一个递归函数dp，它返回两个值：

1. 以当前节点为终点的最长同值路径长度。
2. 当前节点的值。

代码中有四种情况需要考虑：

1. 左子树和右子树的值与当前节点相同。
2. 仅左子树的值与当前节点相同。
3. 仅右子树的值与当前节点相同。
4. 左右子树的值都与当前节点不同。

我们需要根据这些情况更新答案，并返回适当的值。以下是代码段及注释：

class Solution:
    def longestUnivaluePath(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        def dp(node):
            if node is None:
                return 0, -1
            cval = node.val

            left, lval = dp(node.left)
            right, rval = dp(node.right)

            nonlocal ans
            
            # 情况1：左右子树的值均与当前节点相同
            if lval == rval == cval:
                ans = max(ans, left + right)
                return max(left, right) + 1, cval
            # 情况2：仅左子树的值与当前节点相同
            elif lval == cval:
                ans = max(ans, left)
                return left + 1, cval
            # 情况3：仅右子树的值与当前节点相同
            elif rval == cval:
                ans = max(ans, right)
                return right + 1, cval
            # 情况4：左右子树的值均与当前节点不同
            else:
                return 1, cval

        ans = 0
        dp(root)
        return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中$n$表示节点数量。每个节点仅被访问一次。
• 空间复杂度：$O(n)$，其中$n$表示节点的数量，因为在最坏的情况下树会退化成一条链。空间复杂度主要取决于递归时堆栈的深度。

总结

本题是一道中等难度的树形DP问题，通过分治的思想和递归实现，仅仅是在树形DP的外皮上套了一层需求，我们只需要思考一下如何将节点的值考虑进状态转移方程即可非常简单地解决这个问题。