前缀和模板（对区间求和）& 差分模板（对区间进行加减运算）

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前缀和模板（对区间求和）

证明：

简单地证明下：要求num数组【l，r】区间上的和，只需求出前缀数组sum后，sum[r]-sum[l-1]。

① sum[l-1]=num[1]+num[2]+……+num[l-1]

②sum[r] =num[1]+num[2]+……+num[l-1]+num[l]+……num[r-1]+num[r]

②-①可得：sum[r]-sum[l-1]=num[l]+……num[r]

模板：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;
        int[] arr = new int[n];//下标0开始
        long[] sum = new long[n+1];//下标1开始
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            sum[i]=sum[i-1]+arr[i-1];
        }
    }   
}

例题：

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 a 以及 m 个查询。

每个查询包含三个整数 l,r,k 表示询问 l∼r 之间所有元素的 k 次方和。

请对每个查询输出一个答案，答案对 109+7109+7 取模。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m* 其含义如上所述。

第二行输入 n 个整数 a[1],a[2],...,a[n]。

接下来 m 行，每行输入三个整数l,r,k 表示一个查询。

输出格式

输出 m行，每行一个整数，表示查询的答案对 10^9+7 取模的结果。

样例输入
5 3
1 2 3 4 5
1 3 2
2 4 3
3 5 1
样例输出
14
99
12
评测数据规模：

对于 100100% 的评测数据：1≤≤n,m≤10^5，1≤a[i]≤100，1≤l≤r≤n，1≤k≤5。

AC代码

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] a = new int[100006];
        long[][] sum = new long[100007][6];
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
            for(int j=1;j<=5;j++) {
                sum[i][j] = sum[i-1][j]+(long)Math.pow(a[i], j);
            }
            
        }
        long mod=(long)1e9+7;
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            int l = sc.nextInt();
            int r = sc.nextInt();
            int k = sc.nextInt();
            
            long re =(sum[r][k]-sum[l-1][k])%mod;
            System.out.println(re);
        }
    }
    
}

差分模板（对区间进行加减运算）

模板：

    public static void chafen1(int[] diff,int l,int r,int d) {
        diff[l]+=d;
        diff[r+1]-=d;
    }

原理：

i位置加value会影响更新数组 i位置以后的位置加value（由于更新数组是差分数组的前缀和），即蓝色和黄色的区域都加value

j+1位置减value会影响更新数组 j+1位置以后的位置减value（由于更新数组是差分数组的前缀和），即黄色区域减value

所以在经过修改差分数组diff[i]+value,diff[j+1]-value后再求差分数组前缀和数组就是更新数组