[POJ - 1080 ]Palindrome（区间DP）

1、问题

给定一个字符串，通过添加最少的字符，使得这个字符串成为一个回文字符串。

2、分析

状态表示

$f[i][j]$表示将区间$[i,j]$的字符串变成回文串时，添加的最小字符数。

状态转移

在写状态转移方程之前，我们先来分析一下这道题。因为这道题是让我们判断一个回文串，所以我们很自然地想到，应该从两端向中间扫描，这样我们才能判断该字符串是否为回文串。

如下图：

假设我们的$i$和$j$走到了图中的位置，现在需要判断这两个字符是否相等，很明显，按照图中的例子来看，这两个字符是不相等的。
如果不相等话，我们就需要插入字符。插入字符的话，我们就有两个选择，一个是在C的后面插入一个A。如下图所示：

当我们加上一个A以后，原来在$i$位置的字符$A$和我们插入的$A$配对，此时我们的$j$就只能去和$i+1$匹配。

当然，我们还有另外一个选择，就是将$A$前面加一个$C$,如下图所示：

同理，我们插入一个字符$C$以后，我们的$i$处所对应的字符，就可以去和第$j-1$个字符匹配了。
那么我们能否选择不在两端插入字符，而是在对中间字符串匹配的过程中，插入一些字符，而使得现在两端的字符自动匹配成功呢？
答案是不可能的。
因为无论我们在中间插入多少个字符，$i$位置的$A$和$j$位置的$C$字符依旧是在两端，所以二者依旧是不匹配的。

综合上述三种情况，就可以得出一个结论，在我们向中间扫面的过程中，如果没有匹配成功的话，就必须在两端插入一个新的字符，只不过到底是在前面插入，还是在后面插入，需要靠我们自行比较一下。

现在，还有一个问题，当我们插入一个字符后，对之前已经匹配的字符是否有影响呢？
答案是没有影响的。

在上面这个图中，两侧的黑色框是已经匹配的字符，当我们插入字符后，其实并不影响两侧的黑色框。所以是没有影响的。

通过上述的讨论，我们就能总结出状态转移方程。
$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1& s[i]\ne s[j]\\ f[i-1][j-1]+1& s[i]=s[j]\end{array}$$

空间优化

这道题的数据范围比较大，所以需要我们改成滚动数组的形式，即$\&1$即可。

3、代码

#include<iostream>
#define endl '\n'
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 5e3 + 10;
char s[N];
int f[3][N];

void solve()
{
	int n;
	cin >> n;
	cin >> s + 1;
	for(int i = n; i >= 1; i --)
	{
		for(int j = i; j <= n; j ++ )
		{
			if(s[i] == s[j])
				f[i % 2][j] = f[(i + 1) % 2][j - 1];
			else
				f[i % 2][j] = min(f[(i + 1) % 2][j], f[i % 2][j - 1]) + 1;
		}
	}
	cout << f[1][n] << endl;
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	solve();
}