C++图笔记（三）有向无环图（及最小生成树（略））以及剩下的排序

目录

一，定义：

1，有向无环图

 2，拓朴排序

 1，每个顶点出现且仅仅出现一次。

 2，若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

二，DAG的性质

性质1.   从任意一个起点进行dfs，必不会陷入死循环。

性质2.   入度为0的点信息确定，删掉入度为0的点以及出边后，新的入度为0的点信息也唯一确定。

三，拓扑排序的遍历

 四，例题

1，有向图的拓扑序列

使用图片理解拓扑排序（也是该图的模拟过程）

１，在不考虑边权的情况下　输入数据为：

由此建立邻接表。可得第一次入度为零的点为“１”“２” 将此两点入度

所以先将１指向的点和边删除，并将指向的点（３，４）的入度－１；得到下图

由于第一次入度为零的点还有“２”，将１删除后，点“２”还在队中，所以同上操作，得到图三

由上图得：点３的入度为零，所以按照操作将“３”入队，出队，删边，删除边指向的点的入读－１；

同上操作，此时删除点“４；则点“５”的入读＝０；

经过删除。得到点六，所以存在拓扑排序，该图为DAG

2，求最长路

五，最小生成树

１，定义：

２，基本性质

1. 生成树是一个连通子图，是给定图的一个子集，它连接了所有节点且没有环。（有环可以减少一条边）

2. 生成树形态不止一种，且含有图中全部n个顶点，以及包含图中n-1条边。

３，求解方法：

        １、Kruskal　　复杂度：ｎ（ｍｌｏｇｍ）

        ２、例题　详见下：​编辑

代码：

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一，定义：

1，有向无环图

如果有一个非有向无环图，且A点出发向B经C可回到A，形成一个环。将从C到A的边方向改为从A到C，则变成有向无环图。有向无环图的生成树个数等于入度非零的节点的入度积。（from baidu）

若一个有向图不存在环，则称为有向无环图【字面意思】这个东西就叫做DAG（Directed Acyclic Graph），

如图所示：

 2，拓朴排序

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

 1，每个顶点出现且仅仅出现一次。

 2，若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

由拓朴排序的定义可知：只有DAG才有拓扑排序，其余没有拓扑排序一说。

二，DAG的性质

性质1.   从任意一个起点进行dfs，必不会陷入死循环。

性质2.   入度为0的点信息确定，删掉入度为0的点以及出边后，新的入度为0的点信息也唯一确定。

三，拓扑排序的遍历

在dij和spfa等算法中，任意点都会重复更新多次，所以会导致时间复杂度提高。在拓扑排序中，不是从起点（任意点）开始遍历，而是从入度为0的点开始遍历，这样该点就不会有其它点进行更新它。所以这样每个点和边都只会被遍历一次。

所以拓朴排序的时间复杂度为n(n+m).

拓扑排序的大致过程：

1. 从 图中选择一个 入度为0的顶点并入度。
2. 当该节点出队时，将该节点所指向边的节点入度-1如果新节点入度为零，则将新节点入度。
3. 重复 1 和 2 直到当前图为空或当前图中不存在入度为零的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。当所有节点都入过队列，则当前图存在拓扑排序，则该图为DAG图。

 四，例题

1，有向图的拓扑序列

题目：（要求详见图）

使用图片理解拓扑排序（也是该图的模拟过程）

１，在不考虑边权的情况下　输入数据为：

６　７（点数，边数）
１　３
１　４
２　５
４　５
３　６
５　６
３　４

由此建立邻接表。可得第一次入度为零的点为“１”“２” 将此两点入度

所以先将１指向的点和边删除，并将指向的点（３，４）的入度－１；得到下图

 

由于第一次入度为零的点还有“２”，将１删除后，点“２”还在队中，所以同上操作，得到图三