MATLAB 1.2：基本数学运算

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分类专栏： MATLAB 文章标签： matlab

于 2024-02-09 16:41:21 首次发布

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一、矩阵的代数运算

如果一个矩阵A有n行、m列元素，则称A矩阵为nxm矩阵；若n=m，则矩阵A又称为方阵。 MATLAB 语言中定义了下面各种矩阵的基本代数运算：

1. 矩阵的转置

在数学公式中一般把一个矩阵的转置记作 $B=A^{T}$ ，其元素定义为 $b_{ji}=a_{ij}$ ，故B为 $m\times n$ 矩阵。如果A矩阵含有复数元素，则对之进行转置时，其转置矩阵B的元素定义为 $b_{ji}=a^{*}_{ij}$ ，亦即首先对各个元素进行转置，然后再逐项求取其共轭复数值。这种转置方式又称为 Hermit 转置，其数学记号为 $B=A^{*}$ 。MATLAB 中用“A' ”可以求出A矩阵的 Hermit 转置，矩阵的转置可以由“A.’ ”求出。(结合下述实例进行理解)

（1）“. '”运算符转置

>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
B = A'

B =

     1     4
     2     5
     3     6

>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
B = A.'

B =

     1     4
     2     5
     3     6

>> C = [1+2i, 3+4i; 5+6i, 7+8i];
D = C'                            % A矩阵的 Hermit 转置

D =

   1.0000 - 2.0000i   5.0000 - 6.0000i
   3.0000 - 4.0000i   7.0000 - 8.0000i

>> C = [1+2i, 3+4i; 5+6i, 7+8i];
D = C.'

D =

   1.0000 + 2.0000i   5.0000 + 6.0000i
   3.0000 + 4.0000i   7.0000 + 8.0000i

（2）transpose函数转置

B = transpose(A) %用于求解矩阵A的转置

>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
>> B=transpose(A)

B =

     1     4
     2     5
     3     6

>> C = [1+2i, 3+4i; 5+6i, 7+8i];
>> D=transpose(C)

D =

   1.0000 + 2.0000i   5.0000 + 6.0000i
   3.0000 + 4.0000i   7.0000 + 8.0000i

2. 加减法运算

假设在 MATLAB 工作环境下有两个矩阵A和B，则可以由“C=A+B”和“C=A-B”命令执行矩阵加减法。若A和B矩阵的维数相同，它会自动地将A和B矩阵的相应元素相加减，从而得出正确的结果，并赋给C变量；若二者之一为标量，则应该将其遍加（减）于另一个矩阵；如果两个矩阵不能加减，MATLAB将自动地给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> b=[9 8 7;6 5 4;3 2 1];
>> c=a+b

c =

    10    10    10
    10    10    10
    10    10    10

>> c=a-b

c =

    -8    -6    -4
    -2     0     2
     4     6     8

>> c=a+1

c =

     2     3     4
     5     6     7
     8     9    10

>> d=[1 2 3];
>> c=a+d

c =

     2     4     6
     5     7     9
     8    10    12

>> d=[1 2];
>> c=a+d
对于此运算，数组的大小不兼容。

3. 矩阵乘法

假设有矩阵A和B，其中A的列数与B的行数相等，或其一为标量，则称A、B矩阵是可乘的，或称A和B矩阵的维数是相容的。MATLAB 语言中两个矩阵的乘法由“C=A*B”直接求出，且这里并不需要指定A和B矩阵的维数。如果A和B 矩阵的维数相容，则可以准确无误地获得乘积矩阵C；如果二者的维数不相容，则将给出错误信息，通知用户两个矩阵是不可乘的。

>> a=[1 2;3 4;5 6];
>> b=[1 2;3 4];
>> c=[1 2;3 4;5 6];
>> d1=a*b    % 前提：前列=后行；结果：前行=后列

d1 =

     7    10
    15    22
    23    34

>> d2=a*c
错误使用  * 
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数匹配。要单
独对矩阵的每个元素进行运算，请使用 TIMES (.*)执行按元素相乘。

4. 矩阵的左、右除法

MATLAB 中用" \ "和" / "运算符号分别表示两个矩阵的左除和右除，“X=A \ B”为方程“AX=B”的解X，若A为非奇异矩阵，即 $X=A^{-1}B$ ；“X=A / B”为方程“XA=B”的解X，若A为非奇异矩阵，即 $X=BA^{-1}$ ；如果A矩阵不是方阵，则左、右除得出的是方程的最小二乘解。

>> A = [2, 3; 4, 5];
>> B = [6; 7];
>> X = A \ B

X =

   -4.5000
    5.0000

>> A_inv = inv(A)    % 求解矩阵A对应逆矩阵，经验证得上述结果正确

A_inv =

   -2.5000    1.5000
    2.0000   -1.0000

>> X = A / B
错误使用  / 
矩阵维度必须一致。

5. 矩阵翻转

MATLAB 提供了一些矩阵翻转处理的特殊命令，如矩阵A进行左右翻转再赋给B可以由 B=fliplr(A) 实现，亦即 $b_{ij}=a_{i,n+1-j}$ ；如果想上下翻转 A矩阵，则可以使用 C=flipud(A) 命令，将得出结果赋给C，亦即 $c_{ij}=a_{m+1-i,j}$ ； D=rot90(A) 将A矩阵逆时针旋转90°后赋给 D，亦即 $d_{ij}=a_{j,n+1-i}$ ；rot90(A,k) 函数还可以对A矩阵作其他旋转，k为旋转次数。

B = fliplr(A) %水平翻转矩阵A

B = flipud(A) %垂直反转矩阵A

B = rot90(A,k) %将A矩阵逆时针旋转90°，k为旋转次数

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> B=fliplr(A)

B =

     3     2     1
     6     5     4
     9     8     7

>> C=flipud(A)

C =

     7     8     9
     4     5     6
     1     2     3

>> D=rot90(A)

D =

     3     6     9
     2     5     8
     1     4     7

>> D=rot90(A,2)

D =

     9     8     7
     6     5     4
     3     2     1

6. 矩阵的乘方

矩阵的乘方运算可以在数学上表述成 $A^{x}$ ，而其前提条件要求 $A$ 矩阵为方阵。在 MATLAB 中 $A^{x}$ 统一表示成 $F=A^{x}$ ，其中 $x$ 可以为整数、分数、无理数和复数。

① 由“ ^ ”运算可以容易地得出原矩阵的一个三次方根。

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
>> C=A^(1/3),e=norm(A-C^3)

C =

   0.7718 + 0.6538i   0.4869 - 0.0159i   0.1764 - 0.2887i
   0.8885 - 0.0726i   1.4473 + 0.4794i   0.5233 - 0.4959i
   0.4685 - 0.6465i   0.6693 - 0.6748i   1.3379 + 1.0488i

e =

   5.2710e-15

② 求根并验证得误差为e = 5.2710e-15，比较精确。事实上，矩阵的三次方根应该有三个结果，而上面只得出其中的一个。对该方根进行两次旋转，即计算 $Ce^{j2\pi /3}$ 和 $Ce^{j4\pi /3}$ ，则将得出另外两个根，经检验都是正确的。

>> a=exp(sqrt(-1)*2*pi/3); A1=C*a,A2=C*a^2

A1 =

  -0.9521 + 0.3415i  -0.2297 + 0.4296i   0.1618 + 0.2971i
  -0.3814 + 0.8058i  -1.1388 + 1.0137i   0.1678 + 0.7011i
   0.3256 + 0.7289i   0.2497 + 0.9170i  -1.5772 + 0.6342i


A2 =

   0.1803 - 0.9953i  -0.2572 - 0.4137i  -0.3382 - 0.0084i
  -0.5071 - 0.7332i  -0.3085 - 1.4931i  -0.6911 - 0.2052i
  -0.7941 - 0.0825i  -0.9190 - 0.2422i   0.2393 - 1.6831i

>> e1=norm(A-A1^3),e2=norm(A-A2^3)

e1 =

   1.2004e-14


e2 =

   1.6831e-14