关键路径求解过程--王道数据结构

经常忘记关键路径各个量怎么求，开个帖子梳理一下王道求关键路径的流程，其中包含了一些个人的思考和见解，以便复习，不足之处欢迎指正

求关键路径

正向拓扑序列，就是从开头出发，每次都是去除入度为0的结点以及结点相连的边，如果有新结点因此而入度为0，重复上述过程
逆向拓扑序列，就是从结尾出发，每次都是去除出度为0的结点以及结点相连的边，如果有新结点因此而出度为0，重复上述过程

弧，也就是活动（完成活动需要耗费时间）
结点，也就是事件（事件属于一种状态，不需要耗费时间）

完整的流程见下图

1.求所有事件的最早发生时间

令第一个结点的最早开始时间为0

按照正向拓扑排序的序列顺序依次求出后续结点的最早开始事件

ve(k): max{ 前节点的ve +权值（从这个前节点到k节点的路径的权值）} （算出的所有前节点ve后加上路径权值后的值，取最大的）（具体的求解流程见上图）

最早开始时间，为什么是正向拓扑序列的结点的最早开始时间的值，加上圆弧的值，然后取最大的那个值？
        肯定要等最慢的那一个完成任务后，后面的人才可以开始做；前面的不同的结点完成得越来越慢，导致后面共同后继的这一个节点也就启动得越来越晚

2.求所有事件的最迟发生时间

令最后一个结点的 最晚开始时间 = 最早开始时间

按照逆向拓扑排序的序列顺序依次求出前面结点的最晚开始事件

vl(k): min{ 后节点的vl - 权值（从这个后节点到k节点的路径的权值）} （算出的所有后节点vl后减上路径权值后的值，取最小的）（具体的求解流程见上图）

最迟发生时间，为什么是逆向拓扑序列的结点的最晚开始时间的值，减去圆弧的值，然后取最小的那个值？
        后续的结点要保证按时启动，前面的结点肯定要在这个时间点，减去圆弧的时间后，一定要启动了，如果不启动，后续结点将无法按时启动；后续的不同的结点要求启动得越来越早，导致前面的共同前驱的这一个结点也就启动得越来越早

3.求所有活动的最早发生时间

弧（也就是活动）的最早发生时间，等于这个弧开头的结点的最早开始时间，即，（前一个结点开始的瞬间，弧就可以开始了）（具体的求解流程见上图）

4.求所有活动的最迟发生（最晚开始）时间

弧（也就是活动）的最晚开始时间，等于这个弧末尾的结点的最晚开始时间，减去这个弧的长度，即，（后一个结点要求最晚那个点开始开会，弧就需要留好在路上的时间，算好时间就要出发）（具体的求解流程见上图）

5.求所有活动的时间余量

关键路径指的是最为重要的活动，指的是需要花费最多时间的弧（最长时间的路径），如果弧最早开始时间和最晚开始时间卡得很极限（刚好相等，做差为0，如上图中圈红的结点），那这个弧就属于关键路径

总结：

正向拓扑序列，就是从开头出发，每次都是去除入度为0的结点以及结点相连的边，如果有新结点因此而入度为0，重复上述过程
逆向拓扑序列，就是从结尾出发，每次都是去除出度为0的结点以及结点相连的边，如果有新结点因此而出度为0，重复上述过程

弧，也就是活动
结点，也就是事件

1.求所有事件的最早发生时间

令第一个结点的最早开始时间为0

按照正向拓扑排序的序列顺序依次求出后续结点的最早开始事件

ve(k): max{ 前节点的ve +权值（从这个前节点到k节点的路径的权值）} （算出的所有前节点ve后加上路径权值后的值，取最大的）

最早开始时间，为什么是正向拓扑序列的结点的最早开始时间的值，加上圆弧的值，然后取最大的那个值？
        肯定要等最慢的那一个完成任务后，后面的人才可以开始做；前面的不同的结点完成得越来越慢，导致后面共同后继的这一个节点也就启动得越来越晚

2.求所有事件的最迟发生时间

令最后一个结点的 最晚开始时间 = 最早开始时间

按照逆向拓扑排序的序列顺序依次求出前面结点的最晚开始事件

vl(k): min{ 后节点的vl - 权值（从这个后节点到k节点的路径的权值）} （算出的所有后节点vl后减上路径权值后的值，取最小的）

最迟发生时间，为什么是逆向拓扑序列的结点的最晚开始时间的值，减去圆弧的值，然后取最小的那个值？
        后续的结点要保证按时启动，前面的结点肯定要在这个时间点，减去圆弧的时间后，一定要启动了，如果不启动，后续结点将无法按时启动；后续的不同的结点要求启动得越来越早，导致前面的共同前驱的这一个结点也就启动得越来越早

3.弧的最早开始时间，等于这个弧开头的结点的最早开始时间，即，（前一个结点开始的瞬间，弧就可以开始了）

4.弧的最晚开始时间，等于这个弧末尾的结点的最晚开始时间，减去这个弧的长度，即，等于（后一个结点要求最晚那个点开始开会，弧就需要留好在路上的时间，算好时间就要出发）

5.关键路径指的是最为重要的活动，指的是需要花费最多时间的弧（最长时间的路径），如果弧最早开始时间和最晚开始时间卡得很极限（刚好相等，做差为0，如上图中圈红的结点），那这个弧就属于关键路径