【图论】最小生成树

【图论】最小生成树

在实际应用中，许多问题的图论模型都是生成树，如通信网络建设，有线电缆建设，加工设备分组等

1. 基本概念

• 联通的无圈图成为树
• 若图$G$的生成子图$H$是树，则称$H$为$G$的生成树
• 在赋权图$G$中，边权之和最小的生成树称$H$为$G$的生成树

一个有 $N$ 个点的图，边一定是大于等于$N-1$条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择$N-1$条出来，连接所有的$N$个点。这$N-1$条边的边权之和是所有方案中最小的。

2. prim (普里姆算法)

prim算法基于贪心，我们每次总是从未加入生成树的点中选出一个离生成树距离最小的点去加入生成树，最后实现最小生成树.

int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中
// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++ )
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		if (i && dist[t] == INF) return INF;
		if (i) res += dist[t];
		st[t] = true;
		for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
	}
	return res;
}

3. Kruskal算法

不停地选择所有未选中的边中权值最小的，且不构成圈的边，直到形成连通图

int n, m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
struct Edge // 存储边
{
	int a, b, w;
	bool operator< (const Edge &W)const
	{
		return w < W.w;
	}
}edges[M];

int find(int x) // 并查集核心操作
{
	if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

int kruskal()
{
	sort(edges, edges + m);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
	int res = 0, cnt = 0;
	for (int i = 0; i < m; i ++ )
	{
		int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
		a = find(a), b = find(b);
		if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
		{
			p[a] = b;
			res += w;
			cnt ++ ;
		}
	}
	if (cnt < n - 1) return INF;
	return res;
}

4. matlab构建最小生成树

a=zeros(9);
a(1,[2:9]) = [2 1 3 4 4 2 5 4];
a(2,[3 9]) = [4 1]; a(3,4) = 1; a(4,5) = 1;
a(5,6) = 5;a(6,7)=2;a(7,8)=3;a(8,9)=5;
s = cellstr(strcat('v',int2str([0:8]')));
G = graph(a,s,'upper');
p = plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight);
T = minspantree(G,'Method','sparse');
L=sum(T.Edges.Weight);
highlight(p,T)