算法之美（篇一）

最新推荐文章于 2025-04-01 13:04:49 发布

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#算法

本文介绍了算法的基本概念、特性以及评价标准，强调了时间复杂度和空间复杂度在算法分析中的重要性。通过斐波那契数列的例子展示了如何评估算法效率，并提出了追求高效算法的目标。同时，探讨了不同时间复杂度级别的算法，提醒开发者避免使用效率低下的指数阶算法。

数据结构+算法=程序

数据结构是程序的骨架，算法是程序的灵魂。

算法

概念

算法是对特定问题求解步骤的一种描述。

特性

有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止；
确定性：每条语句都有确定的含义，无歧义；
可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算来实现；
输入/输出：有零个或多个输入以及一个或多个输出；

“好”算法的标准

正确性；
易读性；
健壮性；
高效性（涉及“时间复杂度”）；
低存储性（涉及“空间复杂度”）；

时间复杂度（算法运行需要的时间）

衡量标准：算法基本运算的执行次数。

最坏情况对衡量算法的好坏具有实际意义。

O(f(n))表示时间复杂度渐近上界：

O(f(n))表示时间复杂度渐近下界：

空间复杂度（算法占用的空间大小）

衡量算法空间复杂度的关键因素：算法在运行时所使用的辅助变量占用的空间(即辅助空间)。

算法占用的存储空间包括：

输入/输出数据；
算法本身；
额外需要的辅助空间；

注意:在递归算法中，每一次递推都需要一个栈空间来保存调用记录，因此在分析算法的空间复杂度时，需要计算递归栈的辅助空间。

常见的算法时间复杂度

常数阶

常数阶算法的运行次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法的时间复杂度通常用O( $1$ )表示。

多项式阶

很多算法的时间复杂度是多项式，通常用O( $n$ )、O( $n^{2}$ )、O( $n^{3}$ )等表示。

指数阶

指数阶算法的运行效率极差，程序员往往像躲"恶魔"一样避开这种算法。指数阶算法的时间复杂度通常用O( $2^{n}$ )、O( $n!$ )、O( $n^{n}$ )等表示。

对数阶

对数阶算法的运行效率较高，通常用O( $logn$ )、O( $nlogn$ )等表示，指数阶增量随着x的增加而急剧增加，而对数阶增长缓慢。

它们之间的关系如下:
O( $1$ )< O( $logn$ )< O( $n$ )< O( $nlogn$ )< O( $n^{2}$ )< O( $n^{3}$ )< O( $2^{n}$ )< O( $n!$ )< O( $n^{n}$ )

在设计算法时，我们要尽量避免爆炸级增量。

算法题（神奇的兔子数列）

兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家菜奥纳尔多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，1170—1250)。1202年，莱奥纳尔多撰写了《算盘全书》(Liber Abaci)，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，以及中国的“盈不足术";此外还引入了负数，并研究了—些简单的一次同余式组。

思想

算法

以下算法的时间复杂度为 $O\left ( n \right )$ ，空间复杂度为 $O\left ( 1 \right )$

//算法
int Fib3(int n){
    if(n==1||n==2)
        return 1;
    int s1=1;//用s1和s2记录前面的两项
    int s2=1;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        int tmp=s1+s2;
        s1=s2;
        s2=tmp;
    }
    return s2;
}