算法：差分数组

今天学到了一个新知识，差分数组，参考灵神笔记。

举例
考虑数组$a=[1,3,3,5,8]$，对其中的相邻元素两两作差（右边减左边），得到数组$[2,0,2,3]$。然后在开头补上$a[0]$，得到差分数组：
$$d=[1,2,0,2,3]$$
这有什么用呢？如果从左到右累加$d$ 中的元素，我们就「还原」回了$a$ 数组$[1,3,3,5,8]$。
这又有什么用呢？现在把连续子数组$a[1]，a[2]，a[3]$ 都加上 10，得到$a^{\prime }=[1,13,13,15,8]$。再次两两作差，并在开头补上$a^{\prime }[0]$，得到差分数组：
$$d^{\prime }=[1,12,0,2,-7]$$
对比$d$ 和$d^{\prime }$，你会发现，对$a$ 中连续子数组的操作，可以转变成对差分数组$d$ 中两个数的操作。

定义和性质
对于数组$a$，定义其差分数组（difference array）为
$$d[i]=\{\begin{array}{ll}a[0],& i=0\\ a[i]-a[i-1],& i\ge 1\end{array}$$
性质1：从左到右累加$d$ 中的元素，可以得到数组$a$。
性质2：如下两个操作是等价的。

• 区间操作：把$a$ 的子数组$a[i],a[i+1],\cdot \cdot \cdot ,a[j]$ 都加上 $x$。
• 单点操作：把$d[i]$ 增加$x$，把$d[j+1]$ 减少$x$。特别的，如果$j+1=n$，则只需把$d[i]$ 增加$x$。（$n$ 作为数组$a$ 的长度）

利用性质 2，我们只需要$O(1)$ 的时间就可以完成数组$a$ 上的区间操作。最后利用性质 1 从差分数组复原出数组$a$。

JS代码模版

// 你有一个长为 n 的数组 a，一开始所有元素均为 0。
// 给定一些区间操作，其中 queries[i] = [left, right, x]，
// 你需要把子数组 a[left], a[left+1], ... a[right] 都加上 x。
// 返回所有操作执行完后的数组 a。
function solve(n, queries) {
    let diff = new Array(n).fill(0); // 差分数组
    for (const q of queries) {
        const left = q[0], right = q[1], x = q[2];
        diff[left] += x;
        if (right + 1 < n) {
            diff[right + 1] -= x;
        }
    }
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        diff[i] += diff[i - 1]; // 直接在差分数组上复原数组 a
    }
    return diff;
}

第一次手打这些数学公式，还有点累的啊~