信息安全与数学基础-笔记-⑤原根与阶

原根

• 什么是原根？
  设 （a,m）= 1, 并且$a^e$ 三 1 (mod m) ，则我们称：$or{d}_m$(a) = e，ord也叫做群论，也可以叫阶。假如：$or{d}_m(a)$ = $\varphi (m)$，那么我们就称a是模m的原根。

• 原根又称：本原元，生成元

• 对ord的解释：ord就是表示a的阶，是使$a^e$ 三 1 (mod m)成立的最小的数，e要在1-(m-1)的范围内找，必然有一个数能满足式子的，因为至少来说你可以使用欧拉定理$a^{\varphi }$${}^{(}$${}^m$${}^{)}$ 三 1 (mod m)

• 我对原根的理解方式：a，m互素，并且ord = e为最小使$a^e$ 三 1 的数字，然后在$a^e$ 三 1 (mod m)中的e要等于$\varphi (m)$的时候就称a是m的一个原根，这里用把e用$\varphi (m)$替换掉之后就变成了欧拉函数：$a^{\varphi }$${}^{(}$${}^m$${}^{)}$ 三 1 (mod m)，本质就是在保证其他限制条件满足的情况下，主要要满足的就是当e等于$\varphi (m)$，简而言之，e是能满足式子的最小数字，但他又是欧拉函数，在素数中容易让我混淆，因为假如a是素数，那么欧拉函数就是素数-1，因此我时不时会觉得该数字既是最小也是最大。但仔细想想后其实是满足同余1的最小数字，因为最大的数字才满足该条件，就是最小的数字满足同余1的，那么前面的数字必然是能够使$a^e$重新组成一个简化剩余系（也是群），也就是前面的都不是余1的且不同余数 。

• ❀ a必须是模m的简化剩余系 ❀

• 原根可以不存在，但阶一定存在。

原根在后面的密码的加密解密中大有用处

• 如何求原根？
  不难发现，在上面模m的时候，数字其实a的范围就限制在了1 ~ (m-1) 的范围内，因为a是模m的简化剩余系，并且无论a数字多大终究会以模m的形式进行计算，所以我们找原根最原始的办法就是从1开始找，1必然不是原根，因为简化剩余系范围内，第一个数字1就能使1同余1，因此1不会是式子的原根。自此，我们开始往后找，假设m是素数，那么就是找2,3,4,5…m-1，一个个尝试。
  $2^1$,$2^2$