7.6 迭代加深搜索 (IDA*算法实战)

7.6 迭代加深搜索 (IDA*算法实战)

大家还是直接通过问题去体会比较好。

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埃及分数问题

对于一个分数a/b，将起转化为多个分子为1的分数之和，表示方式有很多种，其中加数少的比加数多的好，加数相同的情况下，则最小的分数越大越好。例如19/45=1/5+1/6+1/18是最佳方案。

分析：这道题如果用回溯法去做，解答树的深度和每一层的宽度都是无法确定的(因为每一层都是无限大的)，所以显然不能用我们前面学的两种方法去做。

解决方案是采用迭代加深搜索(IDDFS)：从小到大枚举深度上限maxd，每次执行只考虑深度不超过maxd的结点(DFS深度到maxd，无论找没找到结果都直接停止)。

此时我们可以构造一个类似于估价函数的方法(可能就是)，在每次DFS中进行剪枝。比如当我们扩展到i层时，前i个分数之和为c/d，而第i个分数为1/e，于是确定出至少还需要(a/b-c/d)/(1/e)个分数，总和才能达到a/b，如果本次DFS此时后面的搜索次数已经小于(a/b-c/d)/(1/e)，那么就可以直接跳出本次DFS。这里的关键在于：估计在某个状态至少还要多少步才能出解(启发函数)。

学术一点说，当前DFS的最大搜索深度为maxd，节点n的深度记为g(n)，乐观估计函数为h(n)，则当g(n)+h(n)>maxd时就要进行剪枝。这样的算法就是IDA*(如果设计出一个乐观估计函数，预测从当前结点至少还需要扩展几层结点才可能得到解，则迭代加深搜索就进化为了IDA*算法，对IDA*算法和A*算法想要做详细了解的可以去看我之前总结的这篇文章：从BFS到A*再到IDA*)。

代码实现如下(可以看做对IDA*实现的训练，非常建议大家仔细领会代码里面的一些细节，我在前后写了非常详细的注释希望能够帮助大家理解)：

首先是主框架：

int ok=0,a,b; cin>>a>>b;//get_first得到的是不同分子分母下的枚举起点
	//我们之前说maxd表示每次dfs的最大深度,如果我们在某个maxd的情况下找到了解
	//这个解可能不止一个,我在这里的意思是找到了最优解
	//那么这个最优解我们在放宽的搜索深度肯定还能找到
	//所以我们在某个深度找到解了以后就可以break了,不用考虑后面会不会找到更优的解
	//并且根据迭代加深搜索的特性,maxd不仅可以表示搜索深度,在这道题还可以表示解的个数 
	for (maxd=1;;maxd++){
   memset(ans,-1,sizeof(ans)); if (dfs(0,get_first(a,b),a,b)){
   ok=1; break;} }
	if(ok){
   for(int i=0;i<=maxd;i++){
   if(i>0) cout<<"+"; printf("1/%lld",ans[i]);} }
	return 0;

我个人觉得这里的关键在于对maxd的理解，我之前认为maxd仅仅是最大的搜索深度，后来我发现迭代加深搜索的特性，它将每组解(注意这里是组)分割在了其对应的长度(某个搜索深度)之中。换句话说，maxd同时可以表示解的长度，并且不用考虑后面出现更优解的情况。

get_first函数：

//求满足1/c<=a/b的最小c,即c*a>=b
//这个函数的功能用于找到我们每一次扩展结点,新单位分数分母上的最小值
//即是每一层的枚举起点 
int get_first(ll a,ll b){
   for(int i=1;;i