《算法竞赛进阶指南》0x02 T5 Strange Towers of Hanoi

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题目描述

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有 A、B、C 和 D 四座塔。

2、这里有 $n$ 个圆盘，$n$ 的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

输入格式

无

输出格式

对于每一个整数 $n$，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

数据范围

$1\le n\le 12$

题解

这道题是三塔汉诺塔的进阶版
先回忆一下三塔汉诺塔：
用$d[i]$来表示解决$i$盘$3$塔所需要的最少步数
则有递推式$d[i]=2\ast d[i-1]+1$（将$i-1$个盘从$3$塔移至$2$塔，将第$i$个盘移至$3$塔，将$i-1$个盘移回$3$塔）
那么对于四塔汉诺塔的解法：
用$f[i]$来表示解决$i$盘$4$塔所需要的最少步数
则有递推式$f[i]=min(2\ast f[j]+d[i-j],f[i])$（将$j$个盘从$1$塔移至$2$塔（此时为四塔模式），将第$i-j$个盘移至$4$塔（此时为三塔模式，$2$塔不能使用），将$i$个盘移至$4$塔（此时为四塔模式，四塔上的$i-j$个盘已固定））

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long d[15],f[15];
int main()
{
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	d[1]=f[1]=1;
	for(int j=2;j<=12;j++) d[j]=1+2*d[j-1];
	for(int j=2;j<=12;j++)
			for(int k=0;k<j;k++)
				f[j]=min(f[j],2*f[k]+d[j-k]);
	for(int i=1;i<=12;i++)
		printf("%d\n",f[i]);
	return 0;
}