《算法竞赛进阶指南》0x01 T4 起床困难综合症

最新推荐文章于 2022-04-05 15:07:37 发布

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分类专栏：算法竞赛进阶指南文章标签： c++

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本文介绍了一个有趣的算法问题，主人公atm需要战胜一种名为drd的巨龙，以解决起床困难综合症。通过一系列的逻辑运算，如AND、OR、XOR等，计算出最大可能的伤害值。文章详细解释了解题思路，并给出了高效的O(n)算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目描述

21世纪，许多人得了一种奇怪的病：起床困难综合症，其临床表现为：起床难，起床后精神不佳。
作为一名青春阳光好少年，atm一直坚持与起床困难综合症作斗争。
通过研究相关文献，他找到了该病的发病原因：在深邃的太平洋海底中，出现了一条名为drd的巨龙，它掌握着睡眠之精髓，能随意延长大家的睡眠时间。
正是由于drd的活动，起床困难综合症愈演愈烈，以惊人的速度在世界上传播。
为了彻底消灭这种病，atm决定前往海底，消灭这条恶龙。
历经千辛万苦，atm终于来到了drd所在的地方，准备与其展开艰苦卓绝的战斗。
drd有着十分特殊的技能，他的防御战线能够使用一定的运算来改变他受到的伤害。
具体说来，drd的防御战线由 $n$ 扇防御门组成。
每扇防御门包括一个运算 $o p$ 和一个参数 $t$ ，其中运算一定是OR,XOR,AND中的一种，参数则一定为非负整数。
如果还未通过防御门时攻击力为 $x$ ，则其通过这扇防御门后攻击力将变为 $x o p t$ 。
最终drd受到的伤害为对方初始攻击力 $x$ 依次经过所有n扇防御门后转变得到的攻击力。
由于atm水平有限，他的初始攻击力只能为 $0$ 到 $m$ 之间的一个整数（即他的初始攻击力只能在 $0, 1, \dots, m$ 中任选，但在通过防御门之后的攻击力不受 $m$ 的限制）。
为了节省体力，他希望通过选择合适的初始攻击力使得他的攻击能让drd受到最大的伤害，请你帮他计算一下，他的一次攻击最多能使drd受到多少伤害。

输入格式

第 $1$ 行包含 $2$ 个整数，依次为 $n, m$ ，表示 drd 有 $n$ 扇防御门，atm 的初始攻击力为 $0$ 到 $m$ 之间的整数。
接下来 $n$ 行，依次表示每一扇防御门。每行包括一个字符串 $o p$ 和一个非负整数t，两者由一个空格隔开，且 $o p$ 在前， $t$ 在后， $o p$ 表示该防御门所对应的操作， $t$ 表示对应的参数。

输出格式

输出一个整数，表示atm的一次攻击最多使drd受到多少伤害。

数据范围

在这里插入图片描述

输入样例

3 10
AND 5
OR 6
XOR 7

输出样例

样例解释

atm可以选择的初始攻击力为 $0, 1, \dots, 10$ 。
假设初始攻击力为 $4$ ，最终攻击力经过了如下计算
4 AND 5 = 4
4 OR 6 = 6
6 XOR 7 = 1
类似的，我们可以计算出初始攻击力为 $1, 3, 5, 7, 9$ 时最终攻击力为 $0$ ，初始攻击力为 $0, 2, 4, 6, 8, 10$ 时最终攻击力为 $1$ ，因此atm的一次攻击最多使drd受到的伤害值为 $1$ 。

题解 $O (n)$

本题需要用到的一个重要的思想就是
无论是AND，OR还是XOR运算
都不会在运算过程中遇到进位
所以每一位只与自己有关，和其他位无关，将这一位进行 $n$ 次运算的结果，就是最终这一位的结果
可以用一个二进制数来表示伤害值
所以可以从高位到低位，依次考虑 $x_0$ 的每一位填 $0$ 还是 $1$
对于最终的答案来说，能在高位填 $1$ ，当然比填 $0$ 的结果要好
但是要满足题上所给的一个条件，初始攻击力不能超过 $m$
其他的看代码吧！

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
string op[N];
int t[N];
int calc(int bit,int now)//对第bit位的now进行n次运算
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=t[i]>>bit&1;//表示t[i]的bit位
		if(op[i]=="AND") now&=x;//进行运算
		else if(op[i]=="OR") now|=x;
		else now^=x;
	}
	return now;//返回运算后的结果
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>op[i]>>t[i];//输入
	int beg=0,ed=0;//记录初始攻击力和最终的伤害
	for(int i=29;i>=0;i--)
	{
		int ans0=calc(i,0);//当初始攻击力的第i位为0时，进行n次运算得到的结果
		int ans1=calc(i,1);//当初始攻击力的第i位为1时，进行n次运算得到的结果
		if(beg+(1<<i)<=m&&ans0<ans1) beg+=1<<i,ed+=ans1<<i;//如果初始攻击力加上第i位的值不超过m，并且填1的结果更优，就在最终的答案填上res1，初始攻击力填上i；
		else ed+=ans0<<i;//否则就在最终答案上填res0，初始攻击力不变
	}
	cout<<ed<<endl;
	return 0;
}