第十六届蓝桥杯大赛软件赛省赛Java 研究生组G题

题解：甘蔗

源题目地址：https://www.luogu.com.cn/problem/P12189

题目分析

题目要求我们调整一排甘蔗的高度，使得相邻两根甘蔗的高度差必须在给定的集合B中。我们可以通过砍甘蔗来降低其高度，目标是找到最少需要砍多少根甘蔗才能满足条件。

解题思路

1. 动态规划：使用动态规划来记录每个位置可能的高度及其对应的最小砍伐次数。
2. 状态定义：dp[i][h]表示处理到第i根甘蔗时，将其高度调整为h所需的最小砍伐次数。
3. 状态转移：对于每根甘蔗的每个可能高度，检查它与前一根甘蔗所有可能高度的高度差是否在集合B中，并更新当前状态的最小砍伐次数。
4. 滚动数组优化：使用滚动数组来减少空间复杂度。

代码实现

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        // 读取输入
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] a = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
        }
        HashSet<Integer> b = new HashSet<>();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            b.add(sc.nextInt());
        }

        // 特殊情况：n=1 时无需检查高度差
        if (n == 1) {
            System.out.println(0);
            return;
        }

        // 初始化 DP 数组，滚动数组优化
        int maxHeight = 1000; // a_i 的最大值
        int[][] dp = new int[2][maxHeight + 1];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE / 2); // 初始化为极大值
        }

        // 初始化第一根甘蔗的 DP 状态
        for (int h = 0; h <= a[1]; h++) {
            dp[1][h] = (h == a[1]) ? 0 : 1;
        }

        // 动态规划
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int curr = i % 2;
            int prev = (i - 1) % 2;
            Arrays.fill(dp[curr], Integer.MAX_VALUE / 2); // 清空当前层

            // 枚举当前甘蔗的高度 h
            for (int h = 0; h <= a[i]; h++) {
                // 枚举上一根甘蔗的高度 h'
                for (int hPrev = 0; hPrev <= a[i - 1]; hPrev++) {
                    // 检查高度差是否在集合 B 中
                    if (b.contains(Math.abs(h - hPrev))) {
                        // 更新 dp[i][h]
                        int cost = (h == a[i]) ? 0 : 1; // 当前是否需要砍
                        dp[curr][h] = Math.min(dp[curr][h], dp[prev][hPrev] + cost);
                    }
                }
            }
        }

        // 找到答案
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int h = 0; h <= a[n]; h++) {
            ans = Math.min(ans, dp[n % 2][h]);
        }

        // 如果没有合法解，输出 -1
        if (ans >= Integer.MAX_VALUE / 2) {
            System.out.println(-1);
        } else {
            System.out.println(ans);
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * maxHeight^2)，其中n是甘蔗的数量，maxHeight是甘蔗的最大高度。
• 空间复杂度：O(maxHeight)，使用滚动数组优化后，空间复杂度大大降低。

该算法通过动态规划和滚动数组优化，有效地解决了问题，适用于题目给定的数据范围。