【面试经典150 | 动态规划】零钱兑换

Tag

【动态规划】【数组】

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题目来源

322. 零钱兑换

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解题思路

方法一：动态规划

定义状态

dp[i] 表示凑成总金额的最少硬币个数。

状态转移

从小到大枚举要凑成的金额 i，如果当前的金额可以使用面额数组中的某个面额 coin 凑成总金额的一部分，则可以更新

$$dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)$$

base case

dp[0] = 0，表示凑成总金额 0 的硬币数量为 0。

最后返回

dp[amount]，表示凑成总金额 amount 的最少硬币个数。注意需要判断面额数组是否可以凑成指定的总金额。

实现代码

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);

        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; ++i) {
            for (const auto coin : coins) {
                if (coin <= i) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount]; 
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(Sn)$，$S$ 是题目给定的需要凑成的总金额数，$n$ 是面额数。我们一共需要计算 $O(S)$ 个状态，每个状态需要枚举 $n$ 个面额进行状态转移，所以时间复杂度为 $O(Sn)$。

空间复杂度：$O(S)$。

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写在最后

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