动态规划背包问题之完全背包详解

上一篇我们学习了什么是动态规划问题和什么是背包问题，并且分析了01背包，如果想看上一篇请转移至–>背包问题之01背包详解，今天我们来了解一下背包问题之完全背包问题.

一、什么是完全背包问题？

有n种物品，每种物品的单件体积为v[i]，价值为w[i]。现有一个容量为V的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品都有无穷件。
完全背包和01背包的区别：

1. 01背包在选择某一个物品时只有不选和选一次两种情况
2. 完全背包在选择某一个物品时可以不选，也可以选一次，选两次。。。选择次数没有上限（只要背包能放下）

二、例题分析

1. 题目：

2. 分析：

2.1 第一步：确定状态变量（函数）

最大价值是物品数量i和背包容量j的函数。
设函数f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值。
最终的最大价值就是物品数量i从0增长到n，背包容量j从0增长到m时的f[n][m]值。

2.2 第二步：确定状态转移方程

状态变量：f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值

当前容量为j，我们要考虑第i件物品能否放入？是否放入？

1. 如果当前背包容量j<v[i],不能放入，则f[i][j]=f[i-1][j]
2. 如果当前背包容量j>=v[i]，能放入但是要比较代价
   2.1 如果第i件物品不放入背包，则f[i][j]=f[i-1][j]
   2.2 如果第i件物品放入背包，则f[i][j]=f[i][j-v[i]]+w[i]

对于前i件物品，背包容量为j-v[i]时可能已经放入了第i件物品，容量为j时还可以再放入第i件物品，所以用f[i][j-v[i]]更新f[i][j]

状态转移方程：

可以画图表示为：

2.3 边界条件

对于01背包来说边界就是f[i][j]=0,即当i=0或者j=0时f[i][j]的值为0。

i=0时，表示背包没有放入一个物品，那么此时背包的最大价值无从谈起，所以为0；
j=0时，表示背包的容量为0，那么此时无法放入物品，所以最大价值也为0；

3. 过程表示

3.1 核心代码

    for(int i=1;i<=n;i++){//物品i
        for(int j=0;j<=m;j++)
            {
            if(j<v[i])
                f[i][j]=f[i-1][j];
             else
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
     }
    cout<<f[n][m]<<endl;

3.2 手动计算

3.3 代码验证

3.4 完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main ()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
           {
               if(j<v[i])
                    f[i][j]=f[i-1][j];
                else
                    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
           }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

3.5 优化

将二维表示优化成一维，减少空间的使用，用一维数组f[j]只记录一行数据，让j值顺序循环，顺序更新f[j]
优化后的代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main ()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
           {
               if(j<v[i])
                    f[j]=f[j];
                else
                    f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
           }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

因为j是顺序循环，f[j-v[i]]会先于f[j]更新，也就是说，用新值f[j-v[i]]去更新f[j],相当于用第i行的f[j-v[i]]值更新f[j],所以正确。