2.1 多元函数的基本概念

Drien

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分类专栏：高数文章标签：高数

于 2024-03-22 16:19:16 首次发布

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多元函数的基本概念

知识点1 二元函数的定义

定义1 设有三个变量 x，y，z，当变量 x，y 在一定范围 D 内任取一

对数值时，按照一定的对应法则，总有唯一确定的数值 z 与之对应，

则称变量 z 为变量 x，y 的二元函数，记作
$z = f (x, y)$
自变量 x，y 的变化范围 D 称为该二元函数的定义域。

因变量 z 的变化范围称为该二元函数的值域，记作
$\{ z|z=f(x,y),(x,y)\in D \}$

知识点2 平面点集的相关概念

点的领域

定义：点集 $\bigcup (P_0,\&)={P| |PP_0|<\&}称为点P_0d\&领域$

列如，在平面上（圆领域）

$\bigcup (P_0,\&)={(x,y)| \sqrt{(x-x_0)+(y-y_0)}< \&}$

在空间中，（球领域）

$\bigcup (P_0,\&)={(x,y,z)| \sqrt{(x-x_0)+(y-y_0)+(z-z_0)}< \&}$

定义2 点集

$\bigcup (P_0,\&)= \{ P| 0< |PP_0|<\& \} 称为点P_0d\&领域简单记作\bigcup（P_0)，\bigcup(P_0)$

点的分类

设有点集D及一点P：

（1）若存在点P的某领域 $\bigcup (P) \in D$ ,则称P为D的内点；

（2）若存在点P的某一领域 $\bigcup (P) \in D = \emptyset$ 则称P为D的外点；

（3）若对点P的任意领域 $\bigcup (P)$ 既包含D中的内点也包含D的外点，则称P为D的边界点。

注：D 的内点必属于 D，D 的外点必不属于 D ，D 的边界点可能属

于 D，也可能不属于 D。
点集的分类

（1）若区域 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连，

则称 D 是连通的；

（2）连通的开集 D 称为开区域，简称区域；

（3）开区域 D 连同它的边界一起称为闭区域。

（4）对区域 D，若存在正数 K，使得 $0（O，K）\in D $，

则称 D 为有界域，否则称为无界域。

知识点3 定义域的求解

定义域求法： (1) 分式的分母不能为零；

(2) 偶次方被开方值非负数；

(3) 对数函数的真数为正数；

(4) 函数相加时，定义域为两项定义域的交集；

例1 求函数 $z= ln(y^2-4x+8)$ 的定义域。
${ \{（x,y）| y^2 -4x +8 >0\}}$
例2 求函数 $arcsin\frac{x^2+ y^2}{4}$ 的定义域。
$\{（x,y）| x^2+y^2 \le 4\}}$
注：定义域实质上是使得函数解析式有数学意义的自变量取值构成的

集合。

知识点4 二元函数的图像

二元函数 $\in D。$ 图形一般一张空间曲面M。其中区域D为曲面M在地面的投影

知识点5 二元函数的有界性

定义3 设函数的 $f (x, y)$ 在点集D上有定义，如果存在M > 0,使得对于任何$ (x,y) \in D，都有|f(x,y)| \le M 成立 $，则称$ f(x,y)$在D上有界函数，否则称为无界函数。

例如：设下列函数在其定域内

有界函数：
$\frac{1}{x^2+y^2+1}$

无界函数:
$\frac{1}{x^2+y^2}$

知识点6 多元函数的构造

1、多元函数的四则运算

给定二元函数 $f(x,y),g(x,y),且D_f \bigcap D_g \neq \emptyset$ ,可用四则运算构造新的函数；

1）函数的加减法：
$\pm g(x,y),D_F=D_f \bigcap D_g$

2）函数的乘法：
$g(x,y),D_f \bigcap D_g$

3）函数除法：
$\frac{f(x,y)}{g(x,y)},\\ D_F = D_f \bigcap D_g /\ \{(x,y)|g (x,y) = 0\}$
例1 求下列函数的定义域
$\frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2-1}} \\ 解: 分母不为0\\ 4-x^2-y^2 > 0 \rightarrow x^2 + y^2 < 4\\ x^2 + y^2 -1 > 0 \rightarrow x^2 +y^2 > 1 \\ \{(x,y)|1 < x^2 + y^2 < 4\}$

2、多元函数的复合函数

多元函数的复合函数形式复杂，需要分清中间变量与复合函数，

主要分为以下两种情形介绍：

1）对中间变量进行复合；

2）已知函数复合后的表达式求函数复合之前的表达式；

2, 多元函数的复合函数

例2 已知函数 $f (x, y) = x + 2 y, 求 f (1, x y)$
$解： f (1, x y) = 1 + 2 x y$
例3（2020.10.07）、已知函数 $f(xy,x-y)=(x+y)^2求f(x,y)$
$解析：(x+y)^2 = x^2 + 4xy + y^2 = (x-y)^2 + 4xy \\ 又因为 f(xy,x-y) 所以 x-y = y_`,xy = x_` \\ 解：f(x,y)=y^2 + 4x$

3、隐函数

给定二元方程 F*（x，y）=0 ，给定一个 x，根据这个方程确定一个 y，使得数组 x，y 成为该方程的解，即 y 为 x 的函数 y=y（x），称之为方程 F（x，y）=0 所确定的隐函数。

知识点7 多元函数的极限

二元函数极限

定义3 设函数 $f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域 $\cup^0(P_0)$ 内有定义，若当点 $P (x, y)$ 无限接近点 $P_0时$ ，函数 $z = f (x, y)$ 在点P处的函数值f(x,y)与某个实数A也无限接近，则称A时函数z=f(x,y)在 $P_0$ 点处的二重极限，简称极限，记为
$\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\y\to y_0} } f(x,y) = A \\ 或 \\\ \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0) } f(x,y) = A$
定义解释：

（1）写法；
$\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\y\to y_0} } f(x,y) = A \\ =\\\ \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0) } f(x,y) = A$
（2）动点P以任意方式从任意方向无限趋近定点 $P_0$ ，但两者永远不等，

也表明，极限值A与函数在定点 $P_0$ 处是否有定义无关。

（3）极限本质：当自变量发生变化时，因变量跟着变化的规律。

（4）二重极限与一元函数极限的性质类似，也有极限的四点则运算

保号性等性质。
二元函数极限不存在

若当点P(x,y)以不同方式趋于 $P_0(x_0,y_0)时，函数f(x,y)$ 趋于不同值或有有极限不存在，则可以断定函数极限必然不存在。

列4 讨论函数 $\frac{xy}{x^2+ y^2}在点(0,0)的极限$ 。

解：设P(x,y) 沿直线y=kx趋于点（0，0）时，则有：
$\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to kx} } f(x,y) = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to kx}} \frac{x^2k}{x^2+k^2x^2} = \frac{k}{1-k^2} \\ k值不同极限不同！ \\ 则f(x,y)在(0,0)点极限不存在$
二元函数极限求法

（1）极限的四则运算

例4 $\lim\limits_{\substack{x\to 1 \\y\to 0} } \frac{ln(x+e^y)}{x^2+y^2}$
$\lim\limits_{\substack{x\to 1 \\y\to 0} } \frac{ln(x+e^y)}{x^2+y^2} \\ = \frac{\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(1,0)}}ln(x+e^y)}{\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(1,0)}}\sqrt{x^2+y^2}} \\ = \frac{ln2}{1} \\ = ln 2$
注：直接利用四则运算的前提，初等函数各项极限存在；除法时必须

分母极限不为0。

（2）无穷小量·有界函数=无穷小量
$求\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} 解由于\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le 1,所以函数\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\是有界函数，而且 x \to 0 因此\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.$
如：由于 $\lim\limits_{\substack{x\to \infty \\y\to \infty}}(x^2+y^2) = \infty$ 因此 $\lim\limits_{\substack{x\to \infty \\y\to \infty} } \frac{3}{x^2+y^2} = \frac{3}{\infty} = 0$

(3）等价无穷小量

例6 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{1-cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}}$ .
$解：\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{1-cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}} ==等价=无穷小== \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2+y^2}} \\ =\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0} } \frac{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{e^{x^2+y^2}} =四则运算= \frac{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}e^{x^2+y^2}} \\ ==初等函数=连续性== \frac{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}e^{x^2+y^2}} = \frac{0}{e^0} = 0$
4）重要极限

例7 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{sin\ xy}{x}$ .
$解：\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{sin\ xy}{x} = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{sin\ xy}{xy}.y = (\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{sin\ xy}{xy}).(\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}y) = 1*0 = 0$
例8 求 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 1}}(1 + \frac{1}{x^2 + y^2})^{2(x^2+y^2)}$
$解：\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 1}}(1 + \frac{1}{x^2 + y^2})^{2(x^2+y^2)} = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 1}}[(1 + \frac{1}{x^2 + y^2})^{(x^2+y^2)}]^2 = e^2$
5）初等函数的连续性

例9 求 $\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\y\to 1}}(x^2 - y^2)$
$\lim\limits_{\substack{x\to 2 \\y\to 1}}(x^2 - y^2)=2^2-1^2=3$
6）分离无穷小量——无理根式有理化

例10 求 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{3-\sqrt{xy+9}}{xy}$
$解：\lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{3-\sqrt{xy+9}}{xy} \\ = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{(3-\sqrt{xy+9})(3+\sqrt{xy+9})}{xy(3+\sqrt{xy+9})} \\ = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{-xy}{xy(3+\sqrt{xy+9})} \\ = \lim\limits_{\substack{x\to 0 \\y\to 0}}\frac{-1}{3+\sqrt{xy+9}} = -\frac{1}{6}$