Union_Find

并查集算法

->解决动态连通性问题

供自己使用的学习笔记，原文链接：https://cloud.tencent.com/developer/article/1880833

主要API：

class UF {
    /* 将 p 和 q 连接 */
    public void union(int p, int q);
    /* 判断 p 和 q 是否连通 */
    public boolean connected(int p, int q);
    /* 返回图中有多少个连通分量 */
    public int count();
}

我们使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。

具体实现：

public void union(int p, int q) 
{
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;			/*一个树的树根接到另一个树上*/
    // parent[rootQ] = rootP 也一样
    count--; // 两个分量合二为一
}

/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) 
{
    // 根节点的 parent[x] == x
    while (parent[x] != x)			/*不断寻找父节点直到根父节点*/
        x = parent[x];
    return x;
}

/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() 
{ 
    return count;
}

/*判断是否连通，即判断祖先是否相同即可*/
public boolean connected(int p, int q) 
{
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    return rootP == rootQ;
}

时间复杂度如何呢？

我们发现union函数和connected函数的时间复杂度取决于find函数，而find的时间复杂度取决于树的高度，平均情况即O(logN)，最坏情况变为单支树，变成了O(N).

->那么如何避免树的不平衡呢？我们引出下面的平衡性优化。

我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于union过程：

我们一开始就是简单粗暴的把p所在的树接到q所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：

长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：

class UF {
    private int count;
    private int[] parent;
    // 新增一个数组记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        // 最初每棵树只有一个节点
        // 重量应该初始化 1
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    /* 其他函数 */
}

这样，通过比较树的重量，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在logN这个数量级，极大提升执行效率。

此时，find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。

再优化->路径压缩，使树高保持为常数：

要做到这一点，非常简单，只需要在find中加一行代码：

private int find(int x) {
    while (parent[x] != x) {
        // 进行路径压缩
        parent[x] = parent[parent[x]];
        x = parent[x];
    }
    return x;
}

调用find函数每次向树根遍历的同时，顺手将树高缩短了，最终所有树高都不会超过 3（union的时候树高可能达到 3）。

最后总结：完整代码

class UF {
    // 连通分量个数
    private int count;
    // 存储一棵树
    private int[] parent;
    // 记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;

        // 小树接到大树下面，较平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    public boolean connected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }

    private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            // 进行路径压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }
}


 {
        while (parent[x] != x) {
            // 进行路径压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }
}