Floyd算法求图的最短路径

Floyd算法详解：计算图中任意两点最短路径

原创已于 2022-12-10 15:49:09 修改 · 704 阅读

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#算法 #数据结构

于 2022-07-31 20:24:48 首次发布

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Floyd算法是一种用于查找图中所有顶点对间最短路径的动态规划方法。该算法通过迭代的方式，考虑每个顶点作为中转站，逐步更新最短路径。在可能存在负权边但无负权环的图中，Floyd算法能有效找到最短路径。其核心思想是通过两层循环检查每一对顶点，通过第三个顶点作为中介是否能缩短路径，并更新距离矩阵。最终得到的矩阵即包含了所有顶点对的最短路径信息。

最短路径时图论中典型的问题，可用于路线规划等问题。求任意两点之间的最短路径可使用Floyd算法。

算法步骤

如果要让任意两点之间的路程变短，引入第三个点，也可引入多个点，也可能缩短原本两个点的距离：

如上图的4号城市到3号城市，原本路程是a[4][3]=12,如果通过1号城市4->1->3路程将缩短为a[4][1]

+a[1][3]=5+6=11。如果同时通过1号和2号中转，4号到3号的距离又会缩短

为a[4][1]+a[1][2]+a[2][3]=10。综上，我们发现每个点都可能使另外两个顶点之间路程变短。我们可以通过递推模拟该过程。

首先存储这个图，使用二维数组存储：

	1	2	3	4
1	0	2	6	4
2	∞	0	3	∞
3	7	∞	0	1
4	5	∞	11	0

假设只允许经过1号顶点中转，求任意两点的最短路径（i到j）：

只需判断a[i][1]+a[1][j]是否比a[i][j]小。代码：

for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
  {
  if(a[i][j]>a[i][1]+a[1][j])
    a[i][j]=a[i][1]+a[1][j];
   }

再经过2号点中转：

for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
  {
  if(a[i][j]>a[i][2]+a[2][j])
    a[i][j]=a[i][2]+a[2][j];
   }

然后逐个点中转。

简写为：

for(k=1;k<=n;k++)
  for(i=1;i<=n;i++)
    for（j=1;j<=n;j++)
     {
     if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])
          a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
      }

总结

Floyd算法可以算出任意两点的最短路径，可以处理有负边，但不能处理负环。负环是指累加起来为负数。