Chapter 6: Transformation Matricies

2D Linear Transformations

可以使用一个 2 ✖ 2 矩阵对一个2维向量进行坐标变换：

Scaling

Shearing

Rotation

注意：旋转矩阵为正交矩阵，故其逆矩阵就为其转置矩阵，旋转 θ 角度的旋转矩阵的逆矩阵其实就是旋转 - θ 角度。

Reflection

Decomposition of Transformations

Symmetric Eigenvalue Decomposition：A = RSR^T

如下为一个例子：

Singular Value Decomposition：A = USV^T

奇异值分解博客可以看这篇：奇异值分解

如下为一个例子：

Homogeneous Coordinates

对于线性变换而言，它可以很好的表示缩放、旋转，但是无法表示平移：

用矩阵表示如下：

解决上述问题可以通过增加一个维度（使用齐次坐标）：

1. 点 (x, y) 表示为 (x, y, 1)
2. 向量 [x, y]^T 表示为 [x, y, 0]^T

这种类型的变换叫做仿射变换：仿射变换（affine transformation） = 线性变换 + 平移

需注意如下4点：

rigid-body transforms：由平移和旋转组成的变换，不存在拉伸和剪切变换。

3D Transformations

3D 变换其实就是在2D变换的基础上增加了一个维度，同样使用齐次坐标：

1. 点 (x, y, z) 表示为 (x, y, z, 1)
2. 向量 [x, y, z]^T 表示为 [x, y, z, 0]^T

Transforming Normal Vectors

如果对物体进行了仿射（affine）变换，变换矩阵为 M ，那么它的法向量的变换矩阵是 M 的逆的转置：(M^-1)^T

虽然法向量不垂直了，但是切向量依旧平行于表面，故而可以根据切向量来求表换后的法向量。如下图所示：

不妨这样来看，对于有着法向量 n = [A, B, C]^T 并且过原点的平面其上的点 P(x, y, z) 满足方程 Ax + By + Cz = 0，即 n^T· P = 0

矩阵形式为：

因为 n 是向量， P 是点，所以如上补上 0 和 1。

进一步该矩阵可以写成：

其中 MP 可以看作是变换后的点，那么就有 n^TM^-1 垂直于变换后的点，这就是变换后的法向量的转置，所以转置后的法向量为：

所以变换法向量所用的矩阵为 (M^-1)^T。上述提到的为仿射变换，平移、旋转、缩放都不会影响法向量，但是透视投影会，因为它不是线性变换。

Exercises

Ex1

Ex2

Ex3

Ex4

Ex5

Ex6

Ex7

同Ex6

Ex8

绕原点逆时针旋转90度，然后平移[1, 1]

Ex9

可以先将点平移到原点，接着旋转θ角度，最后再平移回去

Ex10

根据欧拉角来转换

Ex11

将α,β,γ都变为2π- θ