认识动态规划背包问题 初学 dp 信息学竞赛一本通 1267 1268 1背包 完全背包 动态规划 学习动归心路 过程

早就听闻动态规划是一个十分神奇的东西，也仅仅是听闻这一个东西。

有决心学习动态规划，但拖到了现在。

为什么不继续拖了呢？

（自己逼的）

两周后要给21级的学弟学妹讲授“动态规划背包问题”这个部分，就是因为动归如此重要而且我还不会，才选择的这个篇目讲授，反向思考？倒逼输入了。

再想想两周后期末考试复习周，英语四级等其他事情。发现时间更加有限了。

打开了信息学奥赛一本通的刷题网站，第一个动归背包问题1267:01背包。

边做边调那么半小时，我的心情是黑色的。。。

错误代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100][1000];
int w[100],c[100];
int main()
{
	int m;
	int n;
	cin >> m >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> w[i] >> c[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	for(int j=n;j>=1;j--)
	{
		if(i>=w[j])
		f[j][i] = max(f[j-1][i],f[j-1][i-w[j]]+c[j]);
		else
		f[j][i] = f[j-1][i];
	}
	cout << f[n][m];
}

这个水平还讲课？？？？？？

这不得重视一下子。

正确代码是这个样子的：
（有那么点误差）。。。

#include<cstdio>
#include<iostream> 
using namespace std;
const int maxm = 201,maxn = 31;
int m,n;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxn][maxm];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int v=m;v>0;v--)
			if(w[i]<=v)
				f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
			else
				f[i][v]=f[i-1][v];
	printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}

分析一下哪里的问题：
错误的地方：

	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			if(i>=w[j])
				f[j][i] = max(f[j-1][i],f[j-1][i-w[j]]+c[j]);
			else
				f[j][i] = f[j-1][i];
		}

正确的做法：

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int v=m;v>0;v--)
			if(w[i]<=v)
				f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
			else
				f[i][v]=f[i-1][v];

01背包的两重循环：
第一个for循环物品数，第二个for倒着循环重量。
dp的二维数组，第一个数是物品数，第二个数是重量。
（第一次写的没有if，第二次没有else，第三次dp循环错了）

就这水平，还。。害，继续看一看。

下一个题1268：完全背包：
（有那么点印象，把第二层循环反过来，就好了！（可结果不是我想的那样的））

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100][1000];
int w[100],c[100];
int main()
{
	int m;
	int n;
	cin >> m >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> w[i] >> c[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(j>=w[i])
				f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
			else
				f[i][j] = f[i-1][j];
		}
	cout <<"max="<< f[n][m];
}

很显然，Wrong Answer了。

不自己想了，看这个答案吧：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxm=201,maxn=31;
int m,n;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxn][maxm];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int v=1;v<=m;v++)
			if(v<w[i])
				f[i][v]=f[i-1][v];
			else
				if(f[i-1][v]>f[i][v-w[i]]+c[i])
					f[i][v]=f[i-1][v];
				else
					f[i][v]=f[i][v-w[i]]+c[i];
	printf("max=%d", f[n][m]);
	return 0;
}

不仅是第二层循环反过来，还是小瞧了完全背包。
这不得再好好分析一下：

重要部位：
俺的：

	f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);

对的：

	f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]);

？？完全背包哇，物品无限多，所以呢。
第二项f[i][j-w[i]]+c[i]，中的f[i]不能-1了。

行，对01背包和完全背包的内容有点熟悉了。

但一想到要讲授给小朋友们，还差的多还差的多（冒汗）。

再深入的理解01背包，（主要是俺想知道为啥二重循环，为啥正着倒着，为啥dp）

首先，动归原理：
大问题拆成小问题，解决小问题，递推大问题。

递推关系式：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+c[i]);
第i，j个状态，取上一个状态的最大值。
即， 上一个状态有两种情况，不变dp[i-1][j]，
或者背包容量减，价值加，dp[i-1][j-w[i]]+c[i]。

所以，为啥循环：一循环物品数，二循环背包容量。
为啥逆序：01背包的dp[i][]只和dp[i-1][]有关。

同时完全背包正序：考虑第i种物品出现的问题，会对下一个情况造成影响。

01背包和完全背包先这样。