经典检测理论——贝叶斯准则

一、知识回顾

• 在简单二元假设检验中，我们有假设$\{\begin{array}{ll}{H}_0& \text{r(t)=n(t)}\\ H_1& \text{r(t)=d+n(t)}\end{array}$ ，并且假定$p(H_1)=1-\xi ，p(H_0)=\xi$，即已知先验分布。
• 似然比检测器：
• 划分判决域之后，所求得的判决门限值仍然为${\lambda }_0=\frac{\xi }{1-\xi }$，得出最大后验概率准则（MAP）$\iff$最小错误概率准则
• 当$\xi =\frac{1}{2}$时最大似然准则与最小错误准则等价
• 两类错误概率：
  • 虚报概率$P_F=P(D_1|H_0)={\int }_{R_1}{p}_0(x)dx$
  • 漏报概率$P_M=P(D_0|H_1)={\int }_{R_0}{p}_1(x)dx$

二、贝叶斯准则

2.1 代价因子的引入

• 在最大后验概率准则和最小错误概率准则中，两类错误都没有进行加权，即并没有对每类错误所造成的后果进行衡量。
• 在实际系统中，这两类错误所造成的后果大多数时候是不一样的，如：雷达系统中漏报的风险代价是高于虚报的风险代价的。
• 虽然代价因子很难确定，但是具有一定的理论意义

2.2 代价因子定义和性质

1. 定义
   将$H_j$为真选择$H_i$的代价定义为：$c_{ij}$，也就是说实际发送的是事件$H_j$，但是接收机判定为$D_i$。
2. 性质
   ①代价具有非负性
   ②在任何情况下，判断正确的代价都应该小于判断错误的代价，即有$$\{\begin{array}{ll}{c}_{10}-c_{00}>0& \text{发送0}\\ c_{01}-c_{11}>0& \text{发送1}\end{array}$$

2.3 代价的计算

在平均错误概率的基础上对错误概率进行加权：$$\overline{C}=\xi [c_{00}(1-P_F)+c_{10}{P}_F]+(1-\xi )[c_{01}{P}_M+c_{11}(1-P_M)]$$
其中，$P_F={\int }_{R1}{p}_0(x)dx$，$P_M={\int }_{R0}{p}_1(x)dx$

从这个式子可以看出，平均代价也是与接收机的判决方式有关的函数，需要做的就是最小化该代价函数

• 最小化代价函数：$\underset{R_1}{\min }\overline{C}$
  $$\begin{gathered} \overline{C}=\xi [c_{00}(1-{\int }_{R1}{p}_0(x)dx)+c_{10}{\int }_{R1}{p}_0(x)dx] \\ +(1-\xi )[c_{01}{\int }_{R0}{p}_1(x)dx+[c_{11}(1-{\int }_{R0}{p}_1(x)dx)] \end{gathered}$$
  由于$R_0$和$R_1$为互斥完备集，所以有${\int }_{R0}{p}_1(x)dx=1-{\int }_{R1}{p}_1(x)dx$，将其代入，可得：
  $$\begin{gathered} \overline{C}=\xi [c_{00}(1-{\int }_{R1}{p}_0(x)dx)+c_{10}{\int }_{R1}{p}_0(x)dx] \\ +(1-\xi )[c_{01}(1-{\int }_{R1}{p}_1(x)dx)+c_{11}{\int }_{R1}{p}_1(x)dx] \\ =\xi c_{00}+c_{01}(1-\xi )+{\int }_{R_1}[\xi (c_{10}-c_{00})p_0(x)-(1-\xi )(c_{01}-c_{11})p_1(x)]dx \end{gathered}$$
  为了使平均代价最小，只需要在判决域$R_1$上被积函数满足：$$[\xi (c_{10}-c_{00})p_0(x)-(1-\xi )(c_{01}-c_{11})p_1(x)]<0$$

  利用该思想，可以得出下列关系式：$$\frac{p_1(x)}{p_0(x)}>\frac{\xi (c_{10}-c_{00})}{(1-\xi )(c_{01}-c_{11})}$$
  即：
  

  分析：根据上式判决方式，如果${\lambda }_0==0$，则接收端永远判决为$D_1$，且此时虚报概率$P_F=P(D_1|H_0)=1$，漏报概率$P_M=P(D_0|H_1)=0$，该情况适合漏报代价$c_{01}$非常大的情况；
  如果${\lambda }_0==\infty$，则接收机永远判决为$D_0$，此时虚报概率$P_F=P(D_1|H_0)=0$，漏报概率$P_M=P(D_0|H_1)=1$，该情况适合漏报代价$c_{10}$非常大的情况；

2.4 贝叶斯准则的判决门限

• 准则决定门限
  贝叶斯准则的思想：使判决的代价最小化
  根据2.3节有关代价的计算可以得出，贝叶斯准则的判决门限值为：$\frac{\xi (c_{10}-c_{00})}{(1-\xi )(c_{01}-c_{11})}$

• 对于数字通信系统而言，正确判决无代价，错误判决代价相同，即$$\{\begin{array}{l}{c}_{11}=c_{00}=0\\ c_{01}=c_{10}=1\end{array}$$
  此时，贝叶斯准则和最大后验概率准则等价。