数据结构学习笔记（5.树与二叉树 6.图）_树图的高频考点-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_47257749/article/details/124581273

本文详细介绍了数据结构中的树与二叉树，包括它们的定义、性质、存储结构以及遍历方法。二叉树的特殊类型如满二叉树和完全二叉树，以及线索二叉树的概念和实现。接着讲解了图的基本概念、存储方法（邻接矩阵、邻接表）、遍历（BFS和DFS）和最小生成树、最短路径算法（BFS、Dijkstra、Floyd）。此外，还讨论了有向无环图（DAG）的拓扑排序和关键路径分析。内容深入浅出，是数据结构学习的重要参考资料。

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第五章树与二叉树

树

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树的基本概念

空树，非空树
非空树特性

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树的基本概念

数学描述
子树，子树之间互不相交
树是一种递归定义的结构，任何一个树都可以看做是由根节点和若干个不相交的子树所组成的

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树形逻辑结构的应用

结点之间的关系描述

祖先结点：从一个节点出发一直往上走，直到根节点，所遇到的所有节点都是祖先结点
子孙结点：从一个节点出发，下面所有长出的节点都是他的子孙结点
双亲结点：一个结点的直接前驱，就是双亲结点，也叫父结点
孩子结点：一个结点的直接后继，叫孩子结点
兄弟结点：几个结点来自同一个父结点，他们之间就是兄弟结点
堂兄弟结点：几个结点父结点不同，但是爷爷结点相同，之间就是堂兄弟节点；堂兄弟结点都在同一层

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结点、树的属性描述

我们默认结点的层次从1开始，也就是父结点为第一层
有些地方叫法从0层开始，考试注意审题

有序树VS无序树
取决于用树来做什么，是否需要结点的子树从左到右满足次序

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树vs森林

树和森林的转换也是考点
树可以是空树，森林也可以为空森林

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知识点小结

树的常考性质

考点1：结点数=总度数+1
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考点2：度为m的树、m叉树的区别

考点2：度为m的树第i层，至多有m的i-1次方个结点

考点4：高度为h的m叉树，至多有几个结点，等比数列求和

考点5：

考点6：有n个结点的m叉树，最小高度为？让树尽可能的宽，参考前面的等比数列求和公式
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知识点小结

二叉树–定义、基本术语

高频考点
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二叉树的基本概念

二叉树的五种状态

考点：几个特殊的二叉树–形态上

满二叉树，完全二叉树；满二叉树相当于特殊的完全二叉树
完全二叉树如果不满的话，缺少的一定是最后面的几个叶子节点，前面的一定是按顺序排下来的，不能有跳跃
如果完全二叉树的某个结点只有一个孩子，那么一定是左孩子

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几个特殊的二叉树–功能上

几个特殊的二叉树–平衡二叉树

平衡二叉树能有更高的搜索效率
因为平衡二叉树生长的时候尽可能长的宽，搜索的时候才能尽可能减少深度，减少对比的次数

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知识点小结

二叉树–常考性质

常见考点1：

叶子结点比度为2的结点数多一个

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常见考点2

常见考点3

前面证明过

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完全二叉树考点1

要能自己推导，而不是死记硬背

完全二叉树考点2

知识点小结

二叉树–存储结构

二叉树的顺序存储
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几个重要考点的基本操作

结点编号的关系

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如果不是完全二叉树，原有的编号顺序无法反应结点的逻辑关系

可以仍然按照想象中的完全二叉树进行编号，不存在的结点去掉即可
但是不能再通过结点总数来判断左右孩子是否存在，而是用isempty来判断
显而易见，这样存储，会有大量的空间闲置浪费

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最坏情况

因此二叉树的顺序存储结构只适合存储完全二叉树
实际中很少这么用

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二叉树的链式存储–二叉链表

n个结点就会有2n个指针域
n个结点，每个结点的头上都有一个指针，除了根节点，因此共有n-1个指针有指向
所以二叉树链表共有n+1个空链域

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二叉链表代码实现

二叉链表存储

找孩子非常容易，但是找父节点只能遍历寻找
也可以个结点再添加一个指针，用来存放父节点，也成为三叉链表
考试一般喜欢考二叉链表，然后遍历查找父节点

知识点小结

顺序存储的情况，如果结点从0开始编号，如何调整
链式存储的情况，需要注意空链域

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二叉树–先序、中序、后序遍历

什么是遍历
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二叉树的递归特性

二叉树遍历练习

给定二叉树，确定前序中序后序遍历顺序是常见考点

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先序遍历–代码实现

中序遍历–代码实现

后序遍历–代码实现

空间复杂度

先脑补出空节点
红色表示第一次访问该结点，绿色表示第二次经过该结点，紫色表示第三次经过该结点
不难发现，每个节点都会被路过三次

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应用
求树的深度

知识点小结

二叉树–层序遍历

层序遍历算法思想

初始化辅助队列
根结点入队
队列不空则循环
- 队列头结点出队
- 访问出队的节点
- 出队的节点如果有左右孩子，则入队
- 重新判断是否循环

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代码实现

辅助队列使用链队列，因为不清楚需要使用多长的辅助队列
辅助队列只需要保存结点的指针即可，无需保存结点数据，节省空间

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知识点小结

由遍历序列构造二叉树

不同二叉树的遍历序列
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结论

若只给出一颗二叉树的前序、中序、后序、层序中的一种排列，不能唯一确定一颗二叉树
需要同时提供前序+中序、后序+中序、层序+中序两种排列，才能确定一颗二叉树
必须包含中序遍历序列

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如果给出前序+中序遍历序列

前序遍历的第一个结点一定是跟结点
在中序遍历中找到根结点的位置，根结点左侧的都是左子树的，根结点右侧的都是右子树的
回到前序遍历序列，已知了根结点，左子树的结点，身下的就是右子树的结点

BDC为左子树的结点，由前序遍历序列可知，D一定为左子树的根结点，以此类推，往下找

再看一个例子

如果给出后序+中序遍历序列
原理类似，后序遍历序列中的最后一个点就是根结点
在中序遍历序列中找到根结点的位置，左侧的为左子树的结点，右侧的为右子树的结点
后面的结点推导类似

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举个例子

如果给出层序+中序遍历序列

层序遍历序列的第一个是根结点，然后是左子树根结点，右子树根结点

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举个例子

AB是左右子树的根结点，由中序遍历序列可知，左右子树各自的下边的左右子树

再举个例子，左子树为空的情况

知识点小结

重点是找到根结点
通过根结点在中序遍历序列中的位置，分出左右子树的结点，找到左右子树的根结点
再根据左右子树的跟结点，再在中序遍历序列中找到左右子树各自的左右子树
以此类推
中序遍历序列不可缺少，因为需要通过中序遍历序列区分左右子树
前序、后序、层序的两两组合不能唯一确定二叉树

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线索二叉树–概念

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二叉树中序遍历

二叉树中序遍历必须从根结点出发才能进行
但是给定一个线性表，可以从任意结点向后遍历
想要找到二叉树一个结点的前驱和后继，必须从头完整的遍历整个二叉树
如果需要频繁查找任意结点的前驱、后继，普通的二叉树处理就会很麻烦
这里我们说的前驱和后继，是中序遍历序列中的前驱和后继

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中序线索二叉树

n个结点的二叉树，有n+1个空链域，可以用来记录前驱，后继信息
将普通的二叉树进行中序线索化
有了线索化，就意味着从一个点出发可以找到后继，也就可以实现从一个点向后遍历
但是有些节点没有空链域，而是正常指向了左右孩子，如何找中序遍历的前驱和后继呢？后面小结讲
有了线索，找遍历的前驱、后继更方便，遍历也更加方便

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线索二叉树的存储结构

如何区别结点中存储的是孩子还是线索？结点的结构体增加两个变量，存储左右的标记
二叉树线索化之后也可叫做线索链表
如果有空链域，左空链域存前驱，右空链域存后继

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同理，有前序、后续的线索二叉树，原理都类似

先确定遍历序列
再找空链域进行线索化

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后序线索二叉树

三种线索二叉树的对比

区别在于确定各个结点的前驱、后继的时候，到底是按照中序遍历、前序遍历、还是后序遍历
概念：中序前驱，指如果按照中序遍历的话，当前结点对应的前驱是什么；其他名字一次类推

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知识点小结

手算线索化

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二叉树的线索化–代码实现

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土办法找到中序前驱

其实就是pre延迟一步，跟着q结点跑，直到p==q，则pre就是q上一步的结点，也就是p的前驱
还是需要遍历一遍，比较low

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既然要中序线索化，就要找前驱和后继，

将上述土办法移至到二叉树线索的代码中
q指针用来中序遍历，pre慢一步跟着q跑
q结点添加前驱线索，pre添加后继线索
q和pre交替前进，刚好每个节点都会添加前驱和后继（如果有空链域的话）
最后一步还要在外层函数中单独处理，让pre的后继线索为空，标记为1，因此需要设置pre为全局变量

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中序线索化完整代码

实际上就是在中序遍历访问各个结点的过程中，一边遍历一边处理这节点，进行线索化

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王道书中的代码

书中的pre变成了局部变量而已，但是使用了引用参数，方便函数调用的时候能保存参数的变化

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前序线索化

原理都一样
为了避免原地打转，访问结点时需要判断标记为，知道此时的左右孩子到底是子树，还是线索

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王道书版本前序线索化

最后一个结点pre的lchild必然是null

后续线索化
原理一样
后续线索化不会出现转圈问题

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知识点小结

线索二叉树–如何找前驱、后继

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中序线索二叉树找中序后继

p为根结点，如果p有后继指针，直接获取后继
如果p没有后继指针，那么p的后继是右子树的第一个被中序遍历的结点
p为根子树，第一个被访问的结点就是最左下的结点（不一定是叶子结点）
右子树第一个被访问的点，就是右子树最左下的点
利用线索可以实现中序遍历，非递归算法，空间复杂度O(1)

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中序线索二叉树找中序前驱

中序序列中，找一个点的前驱就是这个点的左子树的最后一个被访问的点
左子树最后一个被访问的结点就是这个左子树中最右下的结点
如果左指针本来就是线索的话，直接返回线索即可
找到最后的中序的遍历点，再不断地找前驱点，即可逆向遍历中序二叉树

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前序线索二叉树找前序后继

找p结点的前序后继要分情况讨论
p结点有左孩子和p结点没有左孩子的情况

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前序线索二叉树找前序前驱

如果p结点左指针是线索，那么直接返回前驱线索即可
如果p结点左指针为左孩子，那么就找不到前驱了，因为前序遍历是根左右
可以尝试用三叉链表保存父节点信息
p若没有父结点，那就拉倒了

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如果能找到p的父节点

需要分四种情况
第三种情况，p的前驱结点为左兄弟子树中最后一个被前序遍历的节点；
如何找这个结点，在左兄弟子树中优先向右下找，右下没有再向左下找

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后序线索二叉树找后序前驱

有左线索，则返回前驱
没有左线索，则有左孩子；如果有左孩子，则要看是否有右孩子，分情况讨论

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后序线索二叉树找后序后继

p若有右指针为后继线索，则直接返回
p若有孩子，p的左右子树只能是p的前驱，所以p只能向上找父节点
找p的父结点要么用土办法遍历，要么使用三叉连链表
如果p没有父结点，p是根结点，那就拉倒了

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如果能找到p的父结点

分三种情况
第三种情况，p有右兄弟，则p的后继为右兄弟的第一个被访问的结点
如何找右兄弟第一个点，尽量向左下方向找，左下没有再向右下找

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知识点小结

树–存储结构（普通的树）

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树的逻辑结构

双亲表示法（顺序存储）

新增数据：有一些类似层序，但又不是，无需按逻辑上的次序存储
删除数据
- 方案一：将结点数据清空，双亲指针设为-1
- 方案二：尾部的数据移动过来填上
如果删除的是叶子结点，正常删除即可；如果不是叶子结点，意味着该结点后面的孩子结点都删除
如何找孩子？给定结点查双亲结点方便，找孩子只能从头遍历

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孩子表示法–顺序+链式存储

顺序存储用来存储各个结点的结构体，结构体包含数据本身和孩子指针结构体
孩子指针结构体就是链表结构
思考优缺点，找孩子容易，找双亲麻烦

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孩子兄弟表示法–链式存储–常见考点

左指针指向第一个孩子，右指针指向右兄弟
树转成二叉树

树转成二叉树

森林转成二叉树

知识点小结

树、森林的遍历

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树的先根遍历

伪代码：先访问根，再依次访问各个孩子，访问各个孩子的时候再进行访问根的递归操作
树的先根遍历的序列和与之对应的二叉树的前序遍历序列是一样的

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树的后根遍历

现访问树的孩子，再访问根
树的后根遍历序列与对应的二叉树的中序遍历序列是相同的

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树的层次遍历–使用辅助队列

与之前的层次遍历一样
探索范围是尽可能的宽，也叫广度优先遍历
先根遍历和后根遍历也称为深度优先遍历

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森林的前序遍历

使用递归
森林的前序遍历效果等同依次对各个子树进行先根遍历的效果
也可以转成二叉树，等同于二叉树的前序遍历

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森林的中序遍历

效果等同于依次对各个子树进行后根遍历
也可转成二叉树，效果等于对二叉树进行中序遍历

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知识点小结

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哈夫曼树

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带权路径长度

哈夫曼树–最优二叉树

哈夫曼树的构造

哈弗曼编码

发送电报运用了哈夫曼树的原理

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如何尽可能减小传输的bit数

构造哈夫曼树
使用可变长度编码

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哈夫曼编码

如果给字符集设计可变长度编码，那么所有的字符在编码树种只能是叶子结点，不可以是分支节点
如果某一字符成为了分支节点，那么解码时就可能产生歧义，因为某一个字符的编码可能成为其他编码的前缀
前缀编码

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哈夫曼编码也不唯一

哈弗曼编码可以用于数据的压缩

知识点小结

并查集–2022新增考点

属于集合类型的逻辑结构
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集合：将元素划分为若干个互不相交的子集

代码表示集合：

可以将同一个子集中的各个元素，组织成一棵树
如何判断元素属于哪个集合，查根结点
根结点相同的两个元素，属于同一个子集
两个集合合并为一个集合，只需要让一棵树成为另一棵树的子树即可
这就是并和查

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并查集存储结构

双亲表示法最适合，主要都是在查根结点
并查集的存储结构本质上就是树的双亲表示法

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并查集代码实现–初始化
并查集代码实现–并和查

并查集时间复杂度分析

并操作：O(1)
查操作：最坏时间复杂度O(n)，与树高相关，如果需要优化，尽量将数变宽

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对并操作的优化–union

让每次的合并都是小树合到大树上
可以用根结点的绝对值，百奥是树的结点总数

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合并操作之后，发现，树高并没有发生变化

优化union后，查的操作最坏时间复杂度O(log2n)

知识点小结

并查集终极优化

查操作的优化

压缩路径，尽量使得查找路径变短

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优化

查找后发现，BEL都在同一路径上，且最后指向A
可以将他们都指向根结点，这样BEL到根结点都用一次就能到

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查找优化

正常查找根结点
再次查找原路径，将路径上的

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并查集的优化前后对比

第六章图

图的基本概念

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图的定义

点集不可以空，边集可以为空

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图的应用

铁路网，交通网
社交软件中的用户关系

无向图，有向图

无向边，有向边
无向边：圆括号表示
有向边：尖括号表示，弧尾，弧头

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简单图，多重图

这里，我们默认探讨简单图

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顶点的度

无向图：顶点的度，依附于该顶点的边的条数
有向图：入度，以该顶点为重点的有向边的数目；出度，以该顶点为起点的有向边的数目
有向图的度，指入度与出度之和

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顶点之间关系描述

路径，回路
简单路径，简单回路
路径长度，顶点到顶点的距离
连通，强连通

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连通图，强连通图考点

研究图的局部-子图，生成子图

连通分量

包含尽可能多的顶点和边的意思，延展到不能再延展了，其实就是独立出来的一个子图
比如全国的铁路网和海南岛的铁路网的关系

强连通分量
类似于连通分量，无向图改成有向图

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生成树

无向图，基于连通图的全部顶点，连成一个极小连通子图，最大限度的减少边的数量

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生成森林

一个非连通图，可以划分为若干个连通分量（极大连通子图），得出他们各自的生成树，这些生成树构成了森林

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边的图，带权图

除了点可以带权，边也可以带权

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无向完全图，有向完全图

稀疏图，稠密图

没有个明显的界限

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树

树也是一种特殊的图
考点：多少边必有回路
有向树并不是一个强连通图，因为强连通图要求任意一对顶点之间强连通

知识点小结，常见考点
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图的存储–邻接矩阵法

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邻接矩阵法

画图理解
用二维数组表示矩阵，0表示无，1表示有
无向图是关于主对角线对称的
再用一个一维数组存放顶点信息，顶点在一维数组和在二维数组中的位置是相互对应的

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如何求度，入度，出度

带权图

没有边用无穷表示
最大的int标识无穷
自己指向自己有时候用无穷，有时候也用0表示

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邻接矩阵性能分析

空间复杂度O(n的平方)
适合存储稠密图
无向图是对称矩阵，也可以用上三角，下三角进行压缩

邻接矩阵法的性质

A的n次方，表示矩阵A与矩阵A相乘
可以表示一个点到另一个点再到另一个点的距离
n越大表示点越多
不好用语言表述，需要看视频

基于上面的n=2结果，再计算n=3的情况

更严谨的数学方法需要使用离散数学

知识点小结
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图的存储–邻接表法

邻接矩阵表示法

空间复杂度高，适合存储稠密图，不适合存储稀疏图

邻接表

顺序+链式存储

无向图的存储

数组存储各个结点
如果结点有边，就在这个结点后面挂链表，链表的结点里保存的就是边的信息，保存的是指向哪一个结点的信息
这种表示法类似于树的孩子表示法

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邻接表法，无向图与有向图

有向图：当前结点指向哪里，就是添加一个链表的结点信息
无向图：同一个边会被两个结点都记录下来，因此边的信息有冗余，空间复杂度较高
有向图：每一条弧只会被记录一次
求无向图的度：遍历该结点的边链表即可
求有向图的出度：遍历该结点即可
求有向图的入度：只能遍历所以结点，看哪个结点的边链表里有指向当前结点的边信息，时间复杂度较高
求指向该结点的弧：和找入度类似，也需要遍历所有结点的边链表

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邻接表法表示不唯一

邻接矩阵法表示图是唯一的

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知识点小结

图的存储–十字链表、邻接多重表

十字链表存储有向图

十字链表只能用于存储有向图
区分顶点结点、弧结点；
作为顶点结点：保存数据，指向外面时对应的弧结点，被外面指向时所对应的弧结点
作为弧结点：保存弧头和弧尾的编号，保存弧头相同的其他弧，保存弧尾相同的其他弧
从一个结点出发
- 沿着绿色指针往下找，就是找当前顶点的所有发射出去的弧
- 沿着橙色指针往下找，就是找当前顶点的所有接收过来的弧
空间复杂度也优秀，比较邻接矩阵更节省空间

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邻接矩阵、邻接表存储无向图

邻接多重表存储无向图

只适合存储无向图
顶点结点：保存数据，指向第一个边结点（指向编号最小的顶点对应的边）
边结点：存储相连的两个顶点的编号，顶点不分先后，但是要明确；保存两个边结点的指针
边结点里的两个指针要与保存的两个顶点一一对应；
比如，C连接的第一个边结点里面，C是2号橙色，那么找C的下一个边结点的时候，也要通过橙色指针往下找

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邻接多重表优点

一条边只对应一个边结点，无需保存荣誉数据
删除边结点，只需要将其他指向该结点的指针变为空即可
删除顶点，需要删除与该顶点相连的边，在将指向该边结点的指针变为空，再删除顶点信息
空间复杂度很优秀

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知识点小结

不大可能考代码，因为实现代码复杂
重点理解特性

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图的基本操作

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判断图G是否存在边–无向图

邻接矩阵优于邻接表

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判断图G是否存在边–有向图

邻接矩阵优于邻接表

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列出图G中与顶点x临接的边–无向图

邻接矩阵：遍历该顶点的一行或一列
邻接表：遍历该顶点后面的边结点

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列出图G中与顶点x临接的边–有向图

邻接矩阵：遍历该顶点的出边或入边所对应的行或列
邻接表：遍历所有顶点的所有边结点，找到哪些边结点指向当前顶点

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在图G中插入一个顶点x–无向图

邻接矩阵：给原矩阵新增一行和一列，存储数据默认为0应该是初始化时就完成好的
邻接表：在存储顶点的数组中新增一个顶点即可
有向图也类似

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从图G中删除顶点x–无向图

邻接矩阵：如果真的删除一行和一列，意味着后续正大量元素都要跟着移动，不适合；可以给对应的行和列置零，给顶点元素增加一个标记用于表示空顶点；
邻接表：将该顶点在数组中的位置置空，遍历所有其他顶点对应的边结点，如果有指向这个顶点的，也要删除

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从图G中删除顶点x–有向图

邻接矩阵：类似
邻接表：删除顶点后面的结点，遍历所有顶点的结点，找出指向该顶点的结点，并删除

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向图G中添加边–无向图

有向图类似

找到图G中顶点x的第一个临接点–无向图
邻接矩阵：扫描一行直到遇到第一个邻接点
邻接表：顶点连接的第一个边结点就是

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找到图G中顶点x的第一个临接点–有向图

邻接矩阵：出边找行，入边找列，扫描一行或一列直到遇到第一个邻接点
邻接表：找出边，顶点连接的第一个边结点就是；找入边，遍历所有顶点对应的边结点

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给定图G的顶点连接的第一个邻接点，找下一个邻接点–无向图

扫描行或列，找到第二个即可
找顶点，找到后面第二个边结点即可

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给指定的某边或某弧设置权值

重点在于找到这个边是否存在

知识点小结

考试中可能会用到，找顶点的第一个邻接点，第二个邻接点，图的操作中可能会用到
直接调用函数接口也是可以的

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图的遍历–广度优先遍历（BFS）

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树与图的对比
图的广度优先遍历思路

找到与一个顶点相邻的所有顶点
标记哪些顶点被访问过
需要一个辅助队列
上一节有这些基本操作的实现

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图的广度优先遍历代码实现

小练习

遍历序列的可变性

邻接矩阵是固定的，遍历序列也固定
邻接表由于边链表不唯一，导致遍历序列可能也不唯一

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算法存在的问题

如果是非联通图，则无法遍历完所有的顶点
解决方案：遍历visited数组，对遇到的第一个false点进行广度优先遍历，最终能确保数组中的所有顶点都被访问
因此，对于无向图，调用BFS函数的次数=连通分量的次数，

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复杂度分析

无需钻到代码最深层计算，换个思路，只需要看要访问多少顶点，访问多少边
没有看for循环的原因，如果是连通分量，则没有循环，但是也访问到了，这也是这个算法的特点

广度优先生成树
由广度优先遍历过程确定的
邻接表表示的方式不唯一，因此对应的广度优先生成树也不唯一

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广度优先生成森林

每个连通分量都可以通过遍历对应广度优先生成树
所有广度优先生成树形成一个广度优先生成森林

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练习-广度优先遍历-有向图

思考，能不能只调用一次BFS完成遍历

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知识点小结

图的遍历–深度优先遍历（DFS）

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回顾树的先根遍历

图的深度优先遍历

访问的顶点有可能被访问过了，因此需要visit表用来标识
遍历思想类似于树的先根遍历

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算法存在的问题

如果存在多个连通分量，也可能会遍历不完全
解决方法：类似广度的处理，加入扫描visit数组，寻找没有被访问的第一个顶点，然后对其执行DFS函数

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空间复杂度

时间复杂度

练习

基于邻接表表示方式不唯一，对应的深度优先遍历也不唯一

深度优先生成树

遍历时，一个顶点只需被访问一次，多余的边去掉
邻接表表示方式对应的树也不唯一

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生成森林

每个连通分量对应一个生成树

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知识点小结

最小生成树

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生成树

包含图中全部顶点的一个极小连通子图
顶点数为n，则他的生成树有n-1条边
广度优先遍历和深度优先遍历可以生成不同形态的生成树

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最小生成树（最小代价树）

一个带权的，连通的，无向图可能会有多个生成树
找出权值之和最小的那个生成树
最小生成树可能会有多个
最小生成树的边数=顶点数-1，砍掉一条边就会不连通。增加一条边就会形成回路
如果连通图本身就是一棵树，其最小生成树就是它本身
只有连通图才有生成树，非连通图只能生成森林

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求最小生成树

Prim算法，Kruskal算法，
考察代码的概率不高，重点学习如何手动的实现算法原理

Prim算法（普里姆）
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如果在选择4的时候，可能会有多个选择，多个结果
也可以从不同的结点出发建立最小生成树

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

两种算法对比

知识点小结

最短路径–BFS算法

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BFS广度优先算法求无权图的单源最短路径

代码实现

基于广度优先遍历来进行改造
d[]数组保存各点到源点的距离，path[]数组保存当前结点的前驱结点

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知识点小结

最短路径—Dijkstra算法

BFS广度优先遍历算法的局限性

只适用于解决不带权的图

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Dijkstra算法手动执行过程

文字难以形容，需要看原视频
考试主要考察手动执行原理
强烈推荐看B站视频：https://www.bilibili.com/video/BV1zz4y1m7Nq?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

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得到最短路径的数组，如何使用

计算机实现–了解

时间复杂度 O(n平方)

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带负权值的图

Dijkstra不适用于带负权值的图
什么时候会用到负权值，比如吃鸡中毒圈会掉血，但是医疗包会回血

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最短路径–Floyd算法

Floyd算法

用来求出任意两点之间的最短路径
初始两个矩阵，一个用来记录顶点之间的直接距离，一个记录两个顶点之间的中转顶点
遍历所有顶点，使用算法求出，是否可以再某两个顶点之间增加中转点，可以让路径更短，如果有就更新两个矩阵
这是遍历到各个顶点的情况

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经过n轮递推，得到两个矩阵，由此可以找出任意两点的最短距离

代码实现

A就是图的邻接矩阵，path初始都给-1
时间复杂度，空间复杂度
这是王道书中的例子，但是结点只有3个

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结点较多的情况

两个顶点最终可能会经过多个中转点，path上只记录最近的一次，也就是离终点最近的那个中转点

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v4没有任何修改

根据矩阵找最短路径

通过递方方法，不断找到这个中转点的上一个中转点
实际考试不太可能给这么复杂的图，因为计算量太大，顶多三阶四阶矩阵

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练习

可以解决Dijkstra不能解决的带负权值的图

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不能解决的问题

带有负权回路的图
因为负权路径越多，权值越小

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知识点小结

有向无环图–描述表达式

有向无环图

不存在环路

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DAG描述表达式

简化重复的计算过程

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做题总结规律

实际答题中很容出现遗漏，没有合并完全
王道总结的经验，如果合并完全，最中的合并结果是顶点中不可能出现重复的操作数

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解题步骤

列出操作数
标出生效顺序
按顺序加入运算符，注意分层；只有同一层的操作数才是要直接与当前运算符计算的
从底向上逐层检查同一层的运算符是否可以合体，只有运算符和操作数都相同就可以合并

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合并

练习

如果调换运算的顺序，也可能会得到不同形态的有向无环图

拓补排序

AOV网

AOV网一定是个有向无环图

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拓补排序

找到做事的先后顺序
拓补排序的实现
如果原图有回路，则无法使用拓补排序

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基于邻接表的代码实现

逆拓补排序

代码实现

思路与拓补排序相似，只不过找的是出度为0的结点
逆拓补排序推荐使用邻接矩阵，因为邻接表中的边结点找上一个结点需要遍历整个邻接表，时间复杂度大
邻接矩阵只需要遍历一条边即可
也可以使用逆邻接表，每一个顶点后面的边结点，其实是指向当前节点的边

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逆拓补排序的实现–DFS算法

拓补排序–DFS算法后续讲

知识点小结

关键路径

AOE网

带权有向图，顶点表示事件，有向边表示活动

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源点，汇点都只有一个，中间可以有多条路径

关键路径，关键活动

从前往后推，最早发生时间

从后往前推，最迟发生时间

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时间余量

关键路径从前往后推，从后往前推，时间节点都是一样的，没有时间余量，因此不能拖延

求关键路径的步骤

知识点小结
考点，求关键路径，关键活动

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数据结构学习笔记（5.树与二叉树 6.图）

文章目录

第五章 树与二叉树

树

树的常考性质

二叉树–定义、基本术语

二叉树–常考性质

二叉树–存储结构

二叉树–先序、中序、后序遍历

二叉树–层序遍历

由遍历序列构造二叉树

线索二叉树–概念

二叉树的线索化–代码实现

线索二叉树–如何找前驱、后继

树–存储结构（普通的树）

树、森林的遍历

哈夫曼树

并查集–2022新增考点

并查集终极优化

第六章 图

图的基本概念

图的存储–邻接矩阵法

图的存储–邻接表法

图的存储–十字链表、邻接多重表

图的基本操作

图的遍历–广度优先遍历（BFS）

图的遍历–深度优先遍历（DFS）

最小生成树

最短路径–BFS算法

最短路径—Dijkstra算法

最短路径–Floyd算法

有向无环图–描述表达式

拓补排序

关键路径

第五章树与二叉树

第六章图