区间算法

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#算法 #c语言

本文详细介绍了数据结构与算法中的一些高效查询和修改操作，包括线段树的单点修改、区间修改，树状数组的区间修改，扫描线算法，莫队算法以及分块ST表。通过实例代码展示这些算法的实现，帮助读者理解并掌握这些高级数据结构和算法在解决区间问题上的应用。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

区间算法

线段树

单点修改

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500005*4;		//线段树范围要开4倍 
struct Tree{
	int l,r,sum,maxx;
}; 
Tree node[maxn];
int a[maxn];
void PushUp(int i){ 
	node[i].sum = node[i<<1].sum+node[(i<<1)|1].sum;
	node[i].maxx = max(node[i<<1].maxx,node[(i<<1)|1].maxx);
}
void build(int i,int l,int r){	//建树 
	node[i].l = l;node[i].r = r;
	if(l==r){
		node[i].maxx = a[l];
		node[i].sum = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r)/2;// 
	build(i<<1,l,mid);
	build((i<<1)|1,mid+1,r);
	PushUp(i);
}
void add(int i,int k,int v){//单点添加 
	if(node[i].l==k&&node[i].r==k){
		node[i].sum+=v;
		node[i].maxx+=v;
		return;
	}
	int mid = (node[i].l+node[i].r)/2;
	if(k<=mid)add(i<<1,k,v);
	else add((i<<1)|1,k,v);
	PushUp(i);
} 
int getmax(int i,int l,int r){	//求给定范围最大值 
	if(node[i].l==l&&node[i].r==r)return node[i].maxx;
	int mid = (node[i].l+node[i].r)/2;
	if(r<=mid)return getmax(i<<1,l,r);//范围全部都在左边 
	else if(l>mid)return getmax((i<<1)|1,l,r);//范围全部都在右边 
	else return max(getmax(i<<1,l,mid),getmax((i<<1)|1,mid+1,r));
} 
int getsum(int i, int l, int r){//求给定区间和 
	if (node[i].l==l&&node[i].r==r)
		return node[i].sum;
	int mid = (node[i].l+node[i].r)/2;
	if(r<=mid) return getsum(i<<1,l,r);
	else if(l>mid) return getsum((i<<1)|1,l,r);
	else return getsum(i<<1,l,mid)+getsum((i<<1)|1,mid+1,r);
}
int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
	build(1,1,n);
	cout << getsum(1,2,3) << endl;
	cout << getmax(1,2,3) << endl;
	add(1,3,1);
	cout << getsum(1,2,3) << endl; 
	cout << getmax(1,2,3) << endl;
	return 0;
}

区间修改

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
const int maxn = 500005*4;		//线段树范围要开4倍 
struct Tree{
	int l,r;
	ll sum;
	int mid(){
		return (l+r)>>1;
	}
}tree[maxn];
ll a[maxn];
ll lazy[maxn];	//懒人数组 
void PushDown(int i,int m){
	if(lazy[i]){
		lazy[i<<1]+=lazy[i];
		lazy[(i<<1)|1]+=lazy[i];
		tree[i<<1].sum+=lazy[i]*(m-(m>>1));
		tree[(i<<1)|1].sum+=lazy[i]*(m>>1);
		lazy[i]=0;
	}
}
void build(int i,int l,int r){
	tree[i].l = l;
	tree[i].r = r;
	lazy[i] = 0;
	if(l==r){
		tree[i].sum = a[l];
		return;
	}
	int m = tree[i].mid();
	build(i<<1,l,m);
	build((i<<1)|1,m+1,r);
	tree[i].sum = tree[i<<1].sum+tree[(i<<1)|1].sum;
}
void update(int i,ll c,int l,int r){
	if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r){	//若修改的区间大于本区间,一般只会作用在如最大区间为[1,4],而我更新的区间为[0,5] 
		lazy[i]+=c;
		tree[i].sum+=c*(r-l+1);
		return;
	}
	int m = tree[i].mid();
	PushDown(i,tree[i].r-tree[i].l+1);
	if(r<=m)update(i<<1,c,l,r);
	else if(l>m)update((i<<1)|1,c,l,r);
	else {
		update(i<<1,c,l,m);
		update((i<<1)|1,c,m+1,r);
	}
	tree[i].sum = tree[i<<1].sum+tree[(i<<1)|1].sum;
}
ll getsum(int i,int l,int r){
	if(l==tree[i].l&&r==tree[i].r)return tree[i].sum;
	int m = tree[i].mid();
	PushDown(i,tree[i].r-tree[i].l+1);
	ll res = 0;
	if(r<=m)res+=getsum(i<<1,l,r);
	else if(l>m)res+=getsum((i<<1)|1,l,r);
	else {
		res+=getsum(i<<1,l,m);
		res+=getsum((i<<1)|1,m+1,r);
	}
	return res;
} 
int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
	build(1,1,n);
	cout << getsum(1,2,4) << endl;
	update(1,2,2,3);
	cout << getsum(1,2,4) << endl;
	return 0;
}

树状数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500010;
int d[maxn];
int n,m;
inline int lowbit(int x){return -x&x;}
int getsum(int r){
	int res = 0;
	while(r)res+=d[r],r-=lowbit(r);
	return res;
}
void update(int x,int y){
	while(x <= n)d[x] += y,x += lowbit(x);
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1,a; i <= n; i++){
		cin >> a;
		update(i,a);
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int tp,x,k;
		cin >> tp >> x >> k;
		if(tp == 1){
			update(x,k);
		}else{
			cout << getsum(k) - getsum(x-1) << '\n';
		}
	}
	return 0;
}

扫描线

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n;
struct Segment{
    int x, y1, y2;
    int k;
    bool operator< (const Segment &t)const{
        return x<t.x;
    }
}seg[N*2];
struct Node{
    int l,r;
    int cnt,len;        //cnt当前区间被覆盖的次数 ，len当前区间至少被覆盖一次的长度(最大覆盖长度)
}tr[N*4];
void pushup(int u){
    if(tr[u].cnt > 0) tr[u].len = tr[u].r - tr[u].l + 1;
    else if(tr[u].l == tr[u].r) tr[u].len = 0;
    else tr[u].len = tr[u << 1].len + tr[u << 1 | 1].len;
}
void build(int u, int l, int r){		//建树
    tr[u] = {l, r};
    if(l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}
void modify(int u, int l, int r, int k){	//区间修改
    if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].cnt += k;
        pushup(u);
    }else{
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if(l <= mid) modify(u << 1,l,r,k);
        if(r > mid) modify(u <<1|1,l,r,k);
        pushup(u);
    }
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    int m = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        seg[m++] = {x1,y1,y2,1};		//第一个边
        seg[m++] = {x2,y1,y2,-1};		//第二个边
    }
    sort(seg, seg + m);					//排序
    build(1, 0, 10000);
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++){
        if (i > 0) res+=tr[1].len*(seg[i].x-seg[i-1].x);
        modify(1, seg[i].y1, seg[i].y2-1, seg[i].k);
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

莫队

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define JS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int maxn = 5e4+10;
int a[maxn],pos[maxn],cnt[maxn];
ll ans[maxn],res;
struct Q{
	int l,r,k;
}q[maxn];
bool cmp(Q x,Q y){return pos[x.l]==pos[y.l]?x.r<y.r:pos[x.l]<pos[y.l];}
void Add(int n){cnt[a[n]]++;res+=cnt[a[n]]*cnt[a[n]]-(cnt[a[n]]-1)*(cnt[a[n]]-1);}
void Sub(int n){cnt[a[n]]--;res-=(cnt[a[n]]+1)*(cnt[a[n]]+1)-cnt[a[n]]*cnt[a[n]];}
int main(){
	JS
	int n,m,k;
	cin >> n >> m >> k;
	int le = sqrt(n);
	if(n%le)le++;
	for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i],pos[i]=i/le;
	for(int i = 0; i < m; i++){
		cin >> q[i].l >> q[i].r;
		q[i].k = i;
	}
	sort(q,q+m,cmp);
	int l = 1,r = 0;
	for(int i = 0; i < m; i++){
		while(q[i].l < l) Add(--l);
		while(q[i].r > r) Add(++r);
		while(q[i].l > l) Sub(l++);
		while(q[i].r < r) Sub(r--);
		ans[q[i].k] = res;
	}
	for(int i = 0; i < m; i++)cout << ans[i] << endl;
	return 0;
}

分块

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1<<20;
int a[N],k,len,n;//a[N]记录数列，k指块的数目，len指块的长度 
int L[N],R[N],F[N],add[N],Max[N];
// L[N]记录每个块起始元素的下标，R[N]记录每个块末尾元素下标
// F[N]记录每一个元素所属哪一个块，add[N]加法标记 
// Max[N]记录每个区间的最大值 
inline void Build(){	//建块 
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(add,0,sizeof(add));
	memset(Max,0,sizeof(Max));
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	len = sqrt(n);k = n/len;	//计算块的长度和数目
	if(n%k) k++;	//特判最后一个不完整块
	for(int i = 1; i <= k; i++)
		R[i] = i*len,L[i]=R[i-1]+1;	//计算每一个块的起始末尾元素下标 
	R[k] = n; 
	for(int i = 1; i <= k; i++)
		for(int j = L[i]; j <= R[i]; j++){
			F[j] = i;	//计算每一个元素所属哪一个块 
			Max[i] = max(Max[i],a[j]);		//计算该区间最大值 
		}	  
}
inline int Ask(int x){return a[x]+add[F[x]];} //单点询问
inline void Add(int x,int y,int z){	//区间加法 
	if(F[x]==F[y]){		//如果区间被包含于一个整块 
		for(int i = x; i <= y; i++) a[i]+=z;
		return;
	}
	//如果区间跨过整个块
	for(int i = x; i <= R[F[x]]; i++)a[i]+=z;
	for(int i = L[F[y]]; i <= y; i++)a[i]+=z;
	for(int i = F[x]+1; i < F[y]; i++)add[i]+=z; 
}
void update(int x,int v){	//单点更新 只是用于区间求最值 区间添加和区间求最值是不能一起用的 
	int t = F[x];
	a[x] = v;
	for(int i = L[t]; i <= R[t]; i++)Max[t] = max(Max[t],a[i]); 
}
inline int Quarymax(int x,int y){	//求区间最大值 
	int ans = -1;
	if(F[x]==F[y]){		//如果区间被包含于一个整块
		for(int i = x; i <= y; i++)ans = max(ans,a[i]);
		return ans;
	} 
	//如果区间跨过整个块
	for(int i = x; i <= R[F[x]]; i++)ans = max(ans,a[i]);
	for(int i = L[F[y]]; i <= y; i++)ans = max(ans,a[i]);
	for(int i = F[x]+1; i < F[y]; i++)ans = max(ans,Max[i]);
	return ans;
}  
int main(){
	cin >> n;
	Build();
	int aa,bb;
	int t = 10;
	while(t--){
		cin >> aa >> bb;
		cout << Quarymax(aa,bb) << endl;
		cin >> aa >> bb;
		update(aa,bb);
	}
	return 0;
}

ST表

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int ans=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while( (ch>'9' || ch<'0') && ch!='-' ) ch=getchar();
    if(ch=='-') flag=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    return ans*flag;
}
const int maxn = 1e5+10;
int f[maxn][18];	//18是log2(maxn)大一点的数 
int n,m; 
int Query(int l, int r){
	int d = log2(r-l+1);
	return max(f[l][d],f[r-(1<<d)+1][d]);
} 
int main(){
	n = read(),m = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)f[i][0] = read();
	for(int j = 1; j <= 17; j++){
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	}
	for(int i = 1, l, r; i <= m; i++){
		l = read(),r = read();
		printf("%d\n",Query(l,r));
	}
	return 0;
}
数学公式-区间比较算法-判断 交并关系
01-19
数学公式-区间比较算法 比较 区间之间的关系 开区间、比区间 ex.(100, 10000); (10, 25] 判断 数值 是否在 区间（ex.(100, 10000))内； 或者判断 区间是否在区间内 更或者判断区间之间是否有交集 常见的使用案例是 判断unixTimeStamp 时间是否在制定时间范围内； 或者判断金额是否符合要求
STL区间成员函数及区间算法总结
01-20
在这里总结下可替代循环的区间成员函数和区间算法； 相比单元素遍历操作，使用区间成员函数的优势在于： 1）更少的函数调用 2）更少的元素移动 3）更少的内存分配 在区间成员函数不适用的情况下也应该使用区间...
区间问题算法整理
alim2012的博客
05-13 1072
1、区间极值线段树 ---- 注意正负数不能混用。2、区间求和线段树 --
区间值比较算法
孟令杰
11-13 4174
/** * @author 孟令杰 * @time 2017年9月28 */ package com.system.utils; import java.math.BigDecimal; public class CarConsumScoreUtils { private Integer purchaseScore;//购车费用评分 private Integer upkeepSco
算法 {有关区间的问题}
qq_66485519的博客
06-19 103
1
算法学习 + 面试经典150题（区间部分） —— 区间篇
最新发布
m0_47411815的博客
01-02 375
可以使用区间树的思想，即一棵二叉搜索树上面的每个元素都是一个区间，然后有时根据区间的左端点作为Key构造二叉搜索树，有时则会有其他构建树的方式，根据题目而定。当两个日程安排有一些时间上的交叉时（例如两个日程安排都在同一时间内），就会产生。所以我们首先要掌握BST的建树方式，以下提供两种方式：非递归与递归。类来存放你的日程安排。如果要添加的日程安排不会造成。判断一个新的区间是否与已有区间重叠。表示，这里的时间是半开区间，即。，则可以存储这个新的日程安排。
论文研究-一类不可微方程组的区间算法.pdf
07-22
针对不可微方程组—绝对值方程Ax B|x|=b的数值解问题进行研究, 提出了通过构造极大熵函数和新的区间算子对方程进行求解的区间极大熵算法。该算法能同时求出绝对值方程的近似解和估算其近似解的误差限, 并在A的奇异值...
区间算法简介区间算法简介.doc
05-29
区间算法简介区间算法简介.doc
MATLAB.rar_fcm_matlab网格划分_区间算法_改进的聚类_网格聚类
09-23
在本文中，我们将深入探讨基于MATLAB的"网格划分_区间算法_改进的聚类_网格聚类"主题，特别是与"Fuzzy C-Means (FCM)"算法相关的实现。Fuzzy C-Means是一种模糊聚类算法，常用于数据分析和模式识别。在这个特定的...
算法（区间合并）
Kerryliuyue的博客
08-18 602
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算法：区间树
Just for fun的专栏
09-06 1465
区间树常用于在一维数组的特定区间对查询进行快速回复。区间树的最简单的应用就是求区间最小值的问题。 假设对某个数组A的子区间进行多次求最小元素的运算。例如，A={1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4}，那么区间[2, 4]的最小值是1。需要O(n) 区间树的基本思路是，生成表示给定数组各区间的二叉树。此时，区间树的根节点总是表示整个空间[0, n-1]。需要O(lgn)
算法：区间dp
m0_74310050的博客
07-19 567
区间dp就是在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解；该问题的求解思路主要是通过合并小区间的最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。
算法之区间算术
Once_day的回忆
06-15 1473
author：onceday date：2022年6月15日诸如电阻之类实际问题都会有一个误差，如何根据已知的基本元器件误差计算组合元器件的误差就显得很有实际价值。将区间抽象为复合数据类型，其为一个(上限值+下限值)的组合。...
区间操作（线段树、树状数组、懒人标记、RMQ算法）
梦醒了
08-05 840
懒人标记 士兵杀敌（5） #include using namespace std; const int N=1e6+7; const int inf=0x3f3f3f3f; const int mod=10003; int tre[N]; int main() { int i,j,k,t,tt=0; int n,x,y; scanf("%d%d%d",&n,&x,&y
算法基础-区间问题
赵东个人技术博客
10-07 223
区间合并：多个区间合并成一个区间，求区间的个数。区间选点：多个区间上选点，保证每个区间上至少有一个点，求点的最小数量。区间最大不相交：多个区间选出一些区间，保证区间之间不相交，求可以选出的区间。区间分组：多个区间能合并的分成一组，求分组的最小数量。区间覆盖：给定一个目标区间，从多个区间中选出一些区间能够把目标区间完全覆盖，求选出区间的最小数量。类型相同点不同点说明区间合并左端点从小到大排序下一组左端点大于最大右端点时，则需要单独判断，此处是区间数量加1，同时更新最大右端点区间选点。
【ACM】区间并算法
小小小草儿的博客哟
02-19 1027
#include &amp;lt;iostream&amp;gt; using namespace std; struct Node { int left, right; int father; }node[1000]; bool Judge(int a, int b) { if(node[b].left &amp;gt;= node[a].right || node[b].right &amp;lt...
快速求区间和的有趣算法——树状数组
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10-16 399
好久没写东西，感觉有写些什么的必要了。（高仿鲁迅） 树状数组虽然听起来名字高大上，但是不是很难（前缀和是名字高大上，却水得像海洋） 树状数组在单纯的查询一个区间的和和修改某一个数的效率要超过线段树哦！树状数组最差时间复杂度为O(logn)，而线段树的时间复杂度一直保持O(logn)，且线段树的空间复杂度是树状数组的4倍。 But：树状数组只是线段树的一个辣鸡版本（虽然在某些方面比线段数快一点点），...
算法-合并区间
qq_23594799的博客
04-05 339
算法-合并区间算法-合并区间 算法-合并区间 这题也挺有意思。 力扣（LeetCode56） 给出一个区间的集合，请合并所有重叠的区间。 示例 1: 输入: [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]] 输出: [[1,6],[8,10],[15,18]] 解释: 区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠, 将它们合并为 [1,6]. 示例 2: 输入: [[1,4],[4,5]]...
区间操作
qq_52172364的博客
03-15 994
由树状数组的知识引申来的 什么是树组呢 我也不说了 根据lowbit写出来的一个关系如图 有时候在对[l,r]一个区间操作的时候很容易t 例如对[l,r]区间都加上k ，如果for循环跑一边 复杂度有点高 现在的话我们引入差分数组 1.定义： 对于已知有n个元素的数列d，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组f：显然，f[1]=d[1]-0=d[1];对于整数i∈[2,n]，我们让f[i]=d[i]-d[i-1]。 2.简单性质： 计算数列各项的值：观察d[2]=f[1]+f[2]=d
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