四则运算表达式与二叉树

四则运算表达式与二叉树

四则运算表达式

1. 前缀表达式：运算符位于操作数之前，如 +ab
2. 中缀表达式：平时使用的标准四则运算表达式，如 a+b
3. 后缀表达式：运算符位于操作数之后，如 ab+

二叉树三种遍历方式

先序遍历

1. 访问根节点
2. 先序遍历左子树
3. 先序遍历右子树

中序遍历

1. 中序遍历左子树
2. 访问根节点
3. 中序遍历右子树

后续遍历

1. 后序遍历左子树
2. 后续遍历右子树
3. 访问根节点

传统方式进行四则运算式的变换

中缀表达式转换为后缀表达式

1. 从左往右遍历中缀表达式中的每一个数字和符号
2. 如果是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分
3. 如果是操作符，则判断其与栈顶元素的优先级，当该操作符是右括号或优先级低于栈顶符号，则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，直到最终。

例如：此时给出一个中缀表达式：a*(b+c)-d

中缀表达式转换为前缀表达式

1. 从右往左遍历中缀表达式中的每一个数字和符号
2. 如果是操作数就进行输出
3. 如果是操作符，判断其与栈顶元素的优先级，栈为空时直接入栈。优先级更高或相等时直接入栈，否则输出。
4. 当遇到括号时，右括号直接入栈，左括号时依次弹出直到遇到左括号为止。到此括号丢弃

注意：与输出后缀表达式不一样，这里的输出类似一个栈，输出的值从后往前写。这里就不做了。

括号法进行四则运算的变换

同样使用中缀表达式 a*(b+c)-d

• 转为前缀表达式

  1. 为表达式所有运算单位添加括号，以便运算顺序清晰可见。如此处添加括号后得到的值为 ((a*(b+c))-d)
  2. 将运算符号移动到对应括号的前面：- * a + b c d

• 转为后缀表达式

  1. 为表达式所有运算单位添加括号，以便运算顺序清晰可见。如此处添加括号后得到的值为 ((a*(b+c))-d)
  2. 将运算符移动号对应括号的后面：a b c + * d -

二叉树法进行四则运算的变化

原理：四则运算式的中缀表达式是该式对应的二叉树的中序遍历所得的值。由中缀表达式得到的二叉树，他的先序遍历所得到的序列就是前缀表达式，他的后续遍历所得到的的值就是后缀表达式。

同样使用中缀表达式 a*(b+c)-d

难点：将中缀表达式变换为二叉树。

解答：如括号法
一样，先为表达式所有的运算单位都添加上括号，然后逐层拆分括号，将运算符作为根节点，运算符左边的值划分给左子树，右边的值划分给右子树，左右子树再按照这个方法进行分解，得到最终值。

如上，得到的二叉树，然后自行运算即可，运算结果在括号法中给出了。