C++递推基础知识

一、递推的概念

1、什么是递推算法？
递推算法：是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。
简单来说,就是你今天的成果是和昨天以及前天的努力有关系的

2、解决递推问题的一般形式
（1）建立递推关系式；
（2）确定边界条件（即初始值）；
（3）递推求解。

二、递推和递归的区别

1、从程序上看,递归表现为自己调用自己,递推则没有这样的形式。
2、递归是从问题的最终目标出发,逐渐将复杂问题化为简单问题,最终求得问题 是逆向的。递推是从简单问题出发,一步步的向前发展,最终求得问题。是正向的。
3、递归中,问题的n要求是计算之前就知道的,而递推可以在计算中确定,不要求计算前就知道n。

三、递推的实例

1、最基础的：斐波那契数列

问题描述：Fibonacci 数列的代表问题是由意大利著名数学家 Fibonacci 于 1202年提出的“兔子繁殖问题” （又称“Fibonacci 问题”）引出的。一个数列的第 0 项为 1，第 1 项为 1，以后每一项都是前两项的和，这个数列就是著名的斐波那契数列，求斐波那契数列的第 N 项。由问题，可写出如下所示递推方程：

#include<iostream>
using namespace std; 
int main() { 
	int a[1000],n; 
	cin>>n; 
	a[0]=a[1]=1; 
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];//递推式
	} 
	cout<<a[n];
	return 0;
}

2、变形版斐波那契数列

有一组序列的数值是:1、2、9、33、126、477…请同学们认真观察数值的规律。现要求:指定项数为任意的可项，计算:
1)第 N项的数据:
2)输出前N项数据的和
输入:只有一行，包含1个整数(其中 3<=N<=15)为这个序列的项数。
输出:两行。
第一行为这个序列第N项的数据。
第二行为这个序列前N项的数据和。
[样例输入]6
[样例输出]477
648

解题思路：前两项和的3倍是第三项

#include<iostream>
using namespace std; 
int main() { 
	int a[50]={0},n,sum=0;
	cin >> n;
	a[1]=1;//从下标为1开始，所以最后输出的结果是a[n]
	for(int i=3;i<=n;i++) a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*3;//递推式
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i];//求前N项和
	cout<<a[n]<<endl<<sum;
	return 0;
}

3、较复杂的递推式求解：昆虫繁殖

问题描述： 科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过 X 个月产 Y 对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过 X 个月产卵)，问过 Z 个月以后，共有成虫多少对？
【输入格式】输入 X，Y，Z 的数值(0=<X<=20,1<=Y<=20,X=<Z<=50)。
【输出格式】输出过 Z 个月以后，共有成虫对数
样例输入：1 2 8
样例输出：37
一定要找出递推公式
算法分析：本月成虫数量 = 上月成虫数量 + 两个月前新增卵的数量新增卵的数量 = 上月成虫数量 * 2(Y 的值)

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	long long a[101] = {0}, b[101] = {0};
	int x, y, z;
	cin >> x >> y >> z;
	for(int i =1; i <= x; i++){
		a[i] = 1;
		b[i] = 0;
	} 
	for(int i= x + 1; i <= z + 1; i++){
		b[i] = y * a[i-x];//重点在这里
		a[i] = a[i-1] + b[i-2];//重点在这里
	}
	cout << a[z+1] << endl;
	return 0;
}

4、经典逆推问题：题目数量

问题描述：N 名同学争做计算题，规定做完一道才能做第二道，比赛后统计发现：第一位同学做了总数的一半多 1 道，第二位同学做了余下的一半多 2 道，第三位同学做了再余下的一半多 3 道，以此类推，第 N-1 位同学做了余下的一半多 N-1道，最后一位同学做了 N 道。输入学生的数量 N，求共有多少道题目？
样例输入：4
样例输出：66
算法分析：
第 n 名学生做题时还剩题目数量为：N
第 n-1 名学生做题时还剩题目数量为: (N+N-1)*2
第 N-2 名学生做题时还剩题目数量为：((N+N-1)*2+N-2)*2
……
通过以上分析，可以发现：
边界条件为 F1=N
递推关系式为 Fn-1=(Fn+N-1)*2

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n, f[101]={0};
	cin >> n;
	f[n]=n;
	while(n>=0){
		f[n-1]=(f[n]+n-1)*2;
		n--;
	}
	cout << f[1];
	return 0;
}