2020年 ICPC 亚洲区域赛（上海）G-Fibonacci

ICPC 亚洲区域赛（上海）

G-Fibonacci

题目

斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…

可以看到，这个数列有以下特点：

奇，奇，偶，奇，奇，偶…

当 $x$ 与 $y$ 相乘为偶数时，$g(x,y)=1$。

计算 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}g(f_i,f_j)$

第一步

当 $x$ 或 $y$ 中其中一个为偶数时，他们相乘也为偶数。

当 $i$ 为偶数时，$j$ 从 $i+1$ 到 $n$ 与它相乘，得到的结果也为偶数。而 $j$ 从 $i+1$ 到 $n$ ，一共有 $n-i$ 个数，因此就有ans += n - i;

当$i$ 为奇数时，若$j$ 从 $i+1$ 到 $n$ 中，有 $k$ 个偶数，那么答案也会加 $k$ 。

那么这个 $k$ 怎么求呢？

每三个数中，就有一个数为偶数。在给定的 $n$ 个数中，就有 $n/3$ 个数为偶数。

比如，$n$ 等于 $10$ ，该斐波那契数列为 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$ ，其中的偶数只有 $2,8,34$ ，个数刚好为 $10/3=3$

因此从第 $1$ 到 $i$ 个数中，一共有 $i/3$ 个偶数。从第 $1$ 到 $n$ 个数中，一共有 $n/3$ 个偶数。

那么，从第 $i+1$ 到 $n$ 个数中，有 $n/3-i/3$个偶数，所以 $k=n/3-i/3$

即，当 $i$ 为奇数时，有 ans += n/3 - i/3​ ;

然后，就可以写出这样的代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;

signed main() {
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i % 3 == 0) {
            ans += (n - i);
        } else {
            ans += (n / 3 - i / 3);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

嗯，毫无意外的超时了。

题目给出的范围是 $1\le n\le 10^9$ ，我们$O(n)$ 的算法当然会超时。

因此，就有了第二种解法。

第二步

我们依然以 $n=10$ 为例，

把 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 分成三份。

第一份i = 3, 6, 9...

第二份i = 1, 4, 7, 10...

第三份i = 2, 5, 8...

---

对于第一份的数，都有i%3 == 0，会执行 ans += (n - i)的操作。有$k$个 符合i%3 == 0 的数，就会执行 $k$ 次。把它们加起来，就是(n - 3) + (n - 6) + (n - 9) + ... + (n - 3 * k)

根据等差数列求和公式 $(a_1+a_n)\ast n/2$ ,

可以简化为 $k\ast n-(3+3\ast k)\ast k/2$ 。

同时，$k=n/3$

---

对于第二份的数，先假设有$p$个，会执行$p$次ans += (n/3 - i/3)的操作。同样，把它们加起来，就是(n/3 - 1/3) + (n/3 - 4/3) + (n/3 - 7/3) + (n/3 - 10/3) + ... + (n/3 - (3 * p - 2)/3)，

先简化一下，就是 (n/3 - 0) + (n/3 - 1) + (n/3 - 2) + .. + (n/3 - (p - 1))

根据等差数列求和公式，简化得

$p\ast n/3-(p-1)\ast p/2$

---

对于第三份的数，先假设有$q$个，会执行$q$次ans += (n/3 - i/3)的操作。同样，把它们加起来，就是(n/3 - 2/3) + (n/3 - 5/3) + (n/3 - 8/3) +... + (n/3 - (3 * q - 1)/3)

先简化一下，就是(n/3 - 0) + (n/3 - 1) + (n/3 - 2) + ... + (n/3 - (q - 1))

根据等差数列求和公式，简化得

$q\ast n/3-(q-1)\ast q/2$

---

最后，把上面三条简化后的式子相加求和，就得到最终的结果。

实现代码

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;

signed main() {
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    int k = n / 3;
    ans += k * n - ((3 + 3 * k) * k) / 2;
    int p = k, q = k;
    if (n % 3 == 2) {
        p++;
        q++;
    } else if (n % 3 == 1) {
        p++;
    }
    ans += p * n - p * (p - 1) / 2;
    ans += q * n - q * (q - 1) / 2;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

所以有没有大佬可以说一下更简单的办法？