世界坐标系到用户坐标系的变换

在 OpenCASCADE 中，从世界坐标系（WCS）到用户自定义坐标系（UDCS）的变换矩阵，本质上是一个 仿射变换矩阵，包含 旋转和平移 两个部分。这个矩阵描述了如何将一个点从世界坐标系变换到用户坐标系中。

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🧮 一、数学基础

1. 三维坐标系变换的本质

三维空间中，坐标系变换由以下两个部分组成：

• 旋转（Rotation）：描述用户坐标系相对于世界坐标系的朝向。
• 平移（Translation）：描述用户坐标系的原点在世界坐标系中的位置。

因此，最终的变换矩阵是一个 4x4 的仿射变换矩阵，形式如下：

$$\left[\begin{array}{cccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}& T_x\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}& T_y\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}& T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

其中：

• $ R $ 是一个 3x3 的旋转矩阵，表示坐标系的旋转。
• $ T $ 是一个 3D 平移向量，表示用户坐标系的原点在 WCS 中的位置。

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🧭 二、用户自定义坐标系的定义

在 OpenCASCADE 中，使用 gp_Ax3 类定义一个三维坐标系，它包含以下三个关键元素：

• 原点（Location）：gp_Pnt，表示坐标系的原点位置。
• Z 轴方向（Direction）：gp_Dir，表示坐标系的主方向（通常为 Z 轴）。
• X 轴方向（XDirection）：gp_Dir，表示坐标系的参考方向（通常为 X 轴）。

通过这三个元素，我们可以构造出完整的正交基：

• Z 轴：用户指定的 ZDirection
• X 轴：用户指定的 XDirection
• Y 轴：通过叉积计算：Y = Z × X

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🧮 三、变换矩阵的构建步骤

步骤 1：构造正交基向量

设：

• $ \vec{X} $：X 轴方向（单位向量）
• $ \vec{Y} $：Y 轴方向（单位向量）= $ \vec{Z} \times \vec{X} $
• $ \vec{Z} $：Z 轴方向（单位向量）

这些向量构成用户坐标系的三个正交基。

步骤 2：构造旋转矩阵

旋转矩阵 $ R $ 由这三个基向量构成：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{X}_x& Y_x& Z_x\\ X_y& Y_y& Z_y\\ X_z& Y_z& Z_z\end{array}\right]$$

其中 $ X_x, X_y, X_z $ 是 $ \vec{X} $ 的三个分量，依此类推。

步骤 3：构造平移向量

平移向量 $ T $ 是用户坐标系的原点在世界坐标系中的坐标：

$$T=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$$

步骤 4：组合成仿射变换矩阵

将旋转和平移组合成 4x4 的仿射变换矩阵：

$$M=\left[\begin{array}{cccc}{X}_x& Y_x& Z_x& x_0\\ X_y& Y_y& Z_y& y_0\\ X_z& Y_z& Z_z& z_0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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🧪 四、代码实现（手动构建变换矩阵）

#include <gp_Ax3.hxx>
#include <gp_Mat.hxx>
#include <gp_XYZ.hxx>
#include <iostream>

int main()
{
    // 1. 定义用户坐标系
    gp_Pnt origin(10.0, 20.0, 30.0); // 原点
    gp_Dir zAxis(0.0, 0.0, 1.0);     // Z轴方向
    gp_Dir xAxis(1.0, 0.0, 0.0);     // X轴方向

    gp_Ax3 userCS(origin, zAxis, xAxis); // 构造坐标系

    // 2. 获取基向量
    gp_Dir X = userCS.XDirection(); // X 轴
    gp_Dir Y = userCS.YDirection(); // Y 轴（自动计算）
    gp_Dir Z = userCS.Direction();  // Z 轴

    // 3. 构造旋转矩阵
    gp_Mat R(
        X.X(), Y.X(), Z.X(),
        X.Y(), Y.Y(), Z.Y(),
        X.Z(), Y.Z(), Z.Z()
    );

    // 4. 构造平移向量
    gp_XYZ T(origin.X(), origin.Y(), origin.Z());

    // 5. 构造 4x4 仿射变换矩阵（手动）
    double matrix[16] = {
        X.X(), Y.X(), Z.X(), T.X(),
        X.Y(), Y.Y(), Z.Y(), T.Y(),
        X.Z(), Y.Z(), Z.Z(), T.Z(),
        0.0,   0.0,   0.0,   1.0
    };

    // 6. 打印矩阵
    std::cout << "手动构造的变换矩阵：" << std::endl;
    for (int i = 0; i < 4; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < 4; ++j)
        {
            std::cout << matrix[i * 4 + j] << " ";
        }
        std::cout << std::endl;
    }

    return 0;
}

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📌 五、关键点总结

项目	说明
变换矩阵构成	4x4 仿射矩阵，包含旋转和平移
旋转矩阵构造	由用户坐标系的三个正交基向量构成
平移向量	用户坐标系的原点在世界坐标系中的坐标
基向量顺序	通常为 X、Y、Z，其中 Y 由 Z × X 得到
OpenCASCADE 支持	gp_Ax3::Transformation() 可直接获取变换矩阵
手动构建适用场景	需要深入理解变换原理、调试、或与第三方库交互

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🧠 六、扩展理解：变换矩阵的逆

如果你需要 从用户坐标系变换回世界坐标系，可以使用 逆变换矩阵，即：

$$M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& -R^T\cdot T\\ 0& 1\end{array}\right]$$

在 OpenCASCADE 中，可以通过 gp_Trsf::Inverted() 获取逆变换。

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📌 七、总结

问题	解答
如何手动构造 WCS 到 UDCS 的变换矩阵？	构造旋转矩阵（由用户坐标系的三个正交基向量构成）和平移向量（原点）
变换矩阵的数学形式是什么？	4x4 仿射矩阵，包含旋转和平移
如何获取逆变换？	使用 gp_Trsf::Inverted() 或手动计算逆矩阵
如何验证变换是否正确？	将原点变换到用户坐标系中，应得到 (0, 0, 0)
为什么需要手动构造变换矩阵？	理解底层原理、调试、与第三方库交互、自定义变换逻辑

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