为了上岸

在编程和学习数据结构的过程中，发现有些算法会用到矩阵和矩阵的乘法运算，因此先将这一个知识点学习一下。

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如果逆序数=偶数，叫偶排列如果逆序数=奇数，叫奇排列线性代数补充知识结束。

注：二阶行列式和三阶行列式以及排列和逆序数见高等数学自学向量篇中间穿插的线性代数知识点补充。

（Differential equation）是描述自然现象中变量之间关系的数学语言。它是以函数、导数、微分等数学概念为基础的方程，揭示了自然现象中变量之间的内在联系。微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学、统计学等各领域都有广泛的应用。微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。一阶微分方程包括变量的一阶导数，而高阶微分方程则包括变量的高阶导数。根据微分方程的特征，可以采用不同的方法来求解。解微分方程的一些基本方法包括：变量分离法：把微分方程变成两个变量的函数，然后分别对它们进行积分。

定积分是微积分的一种应用，通过定积分可以求出曲线下面的面积、弧长、质心、转动惯量等一系列物理量。以下是定积分的一些常见应用：曲线下面的面积：定积分可以用于求曲线下面的面积。举个例子，如果想要求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的面积，可以将[0,1]等分成n个小区间，然后计算每个小区间上矩形的面积之和，当n趋近于无穷大时，这个和就趋近于函数在区间[0,1]上的曲线下面积。弧长：定积分可以用于计算曲线的弧长。

定积分是微积分中的一个重要概念，表示在给定区间上函数曲线下的面积或有向曲线与坐标轴围成的面积。定积分通常用符号 ∫ 来表示，具体形式为 ∫f(x) dx。对于给定的函数 f(x) 和区间 [a, b]，定积分的计算可以通过求函数 f(x) 在该区间上的原函数 F(x) 的差值来实现，即计算 F(b) - F(a)。这里的 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数。

给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，满足F’(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。我们通常用∫f(x)dx表示f(x)的不定积分，它表示的是所有原函数的集合，也就是说，∫f(x)dx就是f(x)的原函数集合。不定积分的主要应用是解决函数的定积分问题。定积分就是对给定区间上的函数进行积分求值。如果我们能求出函数的原函数，那么就可以方便地解决定积分问题。此外，不定积分在微积分、物理学、工程学等方面都有广泛的应用。

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)可以用三角形的几何图形来进行证明。假设在一个单位圆上，点A(x,y)的坐标为(x,y)，点B(x’, y’)的坐标为(x’, y’)。则以两点为直角的直角三角形的斜边长为1，且所在的角为夹角x+y。接下来，通过计算三角形中的各条边可以得到：将cos x = x, sin x = y, cos y = x’ 和 sin y = y’ 代入上述公式得到：至此，公式的正确性得到证明。

导数是微积分中的一个概念，描述了函数在某一个点上的变化率。具体地说，函数fx在xa处的导数为f′a，表示当x在a处发生微小的变化Δx时，fx对应的值fa相应地发生的变化Δf与Δxf′aΔx→0lim​ΔxΔf​Δx→0lim​ΔxfaΔx−fa​导数可以帮助我们判断函数在某一个点上是递增还是递减，并且可以用来求极值和确定函数的曲线形状等。具体地说，如果导数f′x在xa。

正切函数tan⁡x\tan xtanx是三角函数sin⁡x\sin xsinx和cos⁡x\cos xcosx的比值，即tan⁡xsin⁡xcos⁡xtanxcosxsinx​。在直角三角形中，正切函数可以定义为对边与邻边的比值，即tan⁡xoatanxao​，其中ooo表示对边，aaa表示邻边。