机试题——最少乘坐公交次数

题目描述

春节将近，小明想在节日期间逛一逛城里的 ( N ) 个著名景点。所有景点都能通过坐公交到达。需要设计一种公交路线方案，让小明能最快地逛完所有景点。

输入描述

第一行：一个整数 ( N )，表示景点数量，满足 ( 0 < N \leq 20 )。

接下来 ( N ) 行：每行包含 ( N ) 个元素，表示景点与景点之间的公交到达关系。如果 ( arr[i][j] = 1 )，表示景点 ( i ) 和景点 ( j ) 之间有直达公交相连；如果 ( arr[i][j] = 0 )，表示没有直达公交。

输出描述

最少乘坐公交的次数。如果不能逛完所有景点，则输出 0。

用例输入

样例 1

输入：

5
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0

输出：

4

解题思路

问题分析

1. 目标：找到一种方案，让小明能以最少的公交次数逛完所有景点。
2. 关键点：
   • 每个景点可以经过多次，公交线路也可以坐多次。
   • 可以从任意景点开始游玩。
   • 如果某些景点之间没有可达路径，则无法完成任务。

算法设计

1. 数据结构：

   • 使用二维数组 mp 存储景点之间的可达性。
   • 使用动态规划数组 dp，其中 dp[state][j] 表示在已访问状态为 state 的情况下，到达景点 ( j ) 的最少公交次数。

2. 预处理：

   • 使用 Floyd-Warshall 算法计算任意两个景点之间的最短路径，确保所有可达性都被正确计算。

3. 状态压缩动态规划：

   • 使用状态压缩表示已访问的景点集合。状态 state 是一个二进制数，第 ( i ) 位为 1 表示景点 ( i ) 已访问。
   • 初始化：对于每个景点 ( i )，dp[1 << i][i] = 0，表示从景点 ( i ) 开始的初始状态。
   • 状态转移：对于每个状态 state 和当前景点 ( j )，尝试从 state 中去掉 ( j ) 的状态 pre，并从 pre 中的每个景点 ( k ) 转移到 ( j )。

4. 结果计算：

   • 遍历所有景点，找到最终状态（所有景点都访问过）的最小值。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;

int mp[25][25]; // 存储景点之间的可达性

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n; // 景点数量
    cin >> n;

    // 读取景点之间的可达性
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> mp[i][j];
            if (mp[i][j] == 0) {
                mp[i][j] = INT_MAX / 2; // 无直达路径
            }
        }
    }

    // 使用 Floyd-Warshall 算法计算任意两个景点之间的最短路径
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                mp[i][j] = min(mp[i][j], mp[i][k] + mp[k][j]);
            }
        }
    }

    // 状态压缩动态规划
    int state = 1 << n; // 总状态数
    vector<vector<int>> dp(state, vector<int>(n, INT_MAX / 2));

    // 初始化：每个景点作为起点
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[1 << i][i] = 0;
    }

    // 动态规划计算
    for (int i = 0; i < state; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 如果当前状态不包含景点 j，则跳过
            if ((i & (1 << j)) == 0) continue;

            // 去掉景点 j 的状态
            int pre = i ^ (1 << j);
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                // 从 pre 中的状态转移
                if ((i & (1 << k)) == 0) continue;
                if (dp[pre][k] == INT_MAX / 2) continue;
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[pre][k] + mp[k][j]);
            }
        }
    }

    // 计算结果：找到最终状态的最小值
    int res = INT_MAX / 2;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = min(res, dp[state - 1][i]);
    }

    // 输出结果
    if (res == INT_MAX / 2) {
        cout << 0; // 无法完成任务
    } else {
        cout << res; // 输出最少公交次数
    }

    return 0;
}